Questions tagged «circuit-complexity»

电路复杂性是对资源有限的电路及其功能的研究。

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随机单调函数
在Razborov-Rudich的Natural Proofs论文的第6页中，他们讨论了“针对单调电路模型的强大下界证明”以及它们如何适应图中，其中有以下句子： 在这里问题不是建设性的-这些证明中使用的属性都是可行的-但似乎没有关于宽大条件的良好形式类似物。特别是，没有人对“随机单调函数”制定可行的定义。 将单调函数的输出与随机字符串区别开来难道不是很容易吗？是否存在强大的下限告诉我们没有这样的事情？ 我的问题是： 它们对“随机单调函数”的可行定义是什么意思？
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是否存在具有以下直接和属性的函数？
可以在布尔电路的电路复杂性框架中，或者在代数复杂性理论的框架中，或者可能在许多其他设置中提出这个问题。通过对参数进行计数，很容易表明在N个输入上存在布尔函数，这些布尔函数需要成倍增加的门数（当然，我们没有任何明确的示例）。假设我希望在M个不同的输入集上对某个整数M评估M次相同的函数，因此输入的总数为MN。也就是说，我们只是想试用对于相同的功能˚F各时刻。f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x1,1,...,x1,N),f(x2,1,...,x2,N),...,f(xM,1,...,xM,N)f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})fff 问题是：是否已知函数的序列（每个N有一个函数），使得对于任何N，对于任何M，所需门的总数至少等于M乘以M的指数函数。不行吗 因为我们希望这个结果对所有M都成立，所以简单的计数论证似乎不起作用。可以在代数复杂度理论和其他领域提出这个问题的简单类似物。fff
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密集线性算子的或电路复杂度
考虑以下简单的单调电路模型：每个门只是一个二进制OR。函数的复杂度是多少，其中是 0的布尔矩阵？可以通过线性或电路计算吗？f （x ）= A x A n × n O （n ）f(x)=Axf(x)=AxAAn×nn \times nO(n)O(n) 更正式地，是从到位的函数。第个输出是（即，由第行给出的输入位的子集的或。˚F Ñ Ñ 我˚F ⋁ Ñ Ĵ = 1（甲我Ĵ ∧ X Ĵ）我甲ffnnnniiff⋁nj=1(Aij∧xj)\bigvee_{j=1}^{n}(A_{ij} \land x_j)iiAA 请注意， 0将的行划分为范围（由的连续元素组成的子集）。这使得可以采用已知的范围查询数据结构。例如，稀疏表数据结构可以变成大小为的OR电路。Yao的范围半组算子查询算法可以变成几乎线性的电路（大小为，其中是逆阿克曼倒数）O （n ）A O （n ）[ n ] O （n log n ）O(n)O(n)AAO(n)O(n)[n][n]O(nlogn)O(n\log n)ø （α （Ñ ）⋅ Ñ ）α （Ñ …
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小型电路评估问题
让是它映射的功能š -门极电路Ç上Ñ位和Ñ比特串X到Ç （X ）。假设电路被编码为分配的非循环序列k ：= g （i ，j ）其中i ，j ，CircuitEvals,nCircuitEvals,n\mathsf{CircuitEval}_{s, n}sssCCCnnnnnnxxxC(x)C(x)C(x)k:=g(i,j)k:=g(i,j)k := g(i, j)是导线标签。i,j,ki,j,ki, j, k 我知道这是一个有趣的问题，但是这个问题的电路复杂度最著名的上限是多少？有一个单带TM计算此功能，因此通过Fischer-Pippenger模拟，大小O （（s + n ）2 log （s + n ））就足够了。二次方来自必须来回搜索。有可能做得更好吗？是否可以做O （s + n ）O((s+n)2)O((s+n)2)O((s + n)^2)O((s+n)2log(s+n))O((s+n)2log⁡(s+n))O((s + n)^2 \log(s + n))O(s+n)O(s+n)O(s + n)吗？
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热带半环上的多项式的VC维？
就像这个问题一样，我对热带（max ，+ ）和（min ，+ ）电路的B P PBPP\mathbf{BPP}与PP\mathbf{P} / p o l ypoly\mathrm{poly} 问题感兴趣。这个问题简化为显示热带半环上多项式的VC维的上限（请参见下面的定理2）。 (max,+)(\max,+)(min,+)(\min,+) 令R为半环。甲零图案的序列的（˚F 1，... ，˚F 米）的米多项式- [R [ X 1，... ，X Ñ ]是子集小号⊆ { 1 ，... ，米}为其中存在X ∈ [R Ñ和ÿ ∈ [R使得对于所有我= 1 ，...RR(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)mmR[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}x∈Rnx\in R^ny∈Ry\in R，米， ˚F 我（X ）= ÿ当且仅当我∈ 小号。也就是说，究竟那些多项式的曲线图 ˚F 我与我∈ 小号必须击中点（X ，ÿ ）∈ [R …
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常规与TC0
Reg⊆NC1Reg⊆NC1\mathsf{Reg} \subseteq \mathsf{NC^1}RegReg\mathsf{Reg}TC0⊈RegTC0⊈Reg\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{Reg}Reg⊆TC0Reg⊆TC0\mathsf{Reg} \subseteq \mathsf{TC^0}NC1⊈TC0NC1⊈TC0\mathsf{NC^1}\not\subseteq\mathsf{TC^0}Reg⊈TC0Reg⊈TC0\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0} 中是否存在没有的问题的候选者？RegReg\mathsf{Reg}TC0TC0\mathsf{TC^0} 是否有条件结果暗示，例如，如果那么？Reg⊈TC0Reg⊈TC0\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0}NC1⊈TC0NC1⊈TC0\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0}Reg⊈TC0Reg⊈TC0\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0}
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基本对称多项式的单调算术电路复杂度？
第kkk个基本对称多项式Snk(x1,…,xn)Skn(x1,…,xn)S_k^n(x_1,\ldots,x_n)是所有 k个不同变量的乘积。我对该多项式的单调算术（+，×）电路复杂度感兴趣。一个简单的动态编程算法（以及下面的图1）给出了一个具有O（kn）门的（+，×）电路。(nk)(nk)\binom{n}{k}kkk(+,×)(+,×)(+,\times)(+,×)(+,×)(+,\times)O(kn)O(kn)O(kn) 问题： 是否 知道的下限？ Ω(kn)Ω(kn)\Omega(kn) 甲电路是歪斜如果每个产品门的两个输入端的至少一个是可变的。这种电路实际上与开关和整流网络相同（有向无环图，其中的某些边缘用变量标记；每个st路径给出其标记的乘积，输出是所有st路径的总和）。早在40年前，马尔可夫就证明了一个令人吃惊的严格结果：S n k的最小单调算术偏斜电路恰好具有k （n - k + 1 ）个乘积门。的上界如下从图1： (+,×)(+,×)(+,\times)SnkSknS_k^n k(n−k+1)k(n−k+1)k(n-k+1) 但是我没有看到任何尝试证明非偏斜电路的下限。这仅仅是我们的“自大”，还是一路上观察到一些固有的困难？ PS我知道门对同时计算所有S n 1，… ，S n n是必要的。这是从对0-1输入进行排序的单调布尔电路的大小的下限开始的；请参阅Ingo Wegener的书的第158页。所述AKS排序网络也意味着ø （Ñ 登录Ñ ）门在此（布尔值）的情况下就足够了。实际上，鲍尔（Baur）和斯特拉森（Strassen）已经证明了紧约束Θ （n log nΩ(nlogn)Ω(nlog⁡n)\Omega(n\log n)Sn1,…,SnnS1n,…,SnnS_1^n,\ldots,S_n^nO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n)S n n / 2的非单调算术电路的大小。但是单调算术电路呢？Snn/2Sn/2nS_{n/2}^n
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销毁DAG中的所有长路径可能有多昂贵？
我们考虑具有一个源节点sss和一个目标节点 DAG（有向无环图）ttt；允许连接同一对顶点的平行边。甲kkk - 切口是一组边，其除去的破坏所有sss - ttt路径长于kkk ; 较短的sss - ttt路径以及较长的“内部”路径（不在sss和之间的路径ttt）都可以生存！ 问题： 是否足以从DAG中删除最多约1/k1/k1/k的边缘部分，以破坏所有长于k的sss - ttt路径？ kkk 也就是说，如果e(G)e(G)e(G)表示在边缘的总数GGG，确实然后每DAG GGG具有kkk -馏分用至多约边缘？两个例子：e(G)/ke(G)/ke(G)/k 如果所有 -路径具有长度，则 -馏分用边缘存在。之所以成立，是因为必须有不相交的切口：仅根据节点与源节点的距离对它们进行分层。 吨> ķ ķ ≤ È （ģ ）/ ķ ķ ķ ģ 小号sssttt>k>k> kkkk≤e(G)/k≤e(G)/k\leq e(G)/kkkkkkkGGGsss如果G=TnG=TnG=T_n是一个传递比赛（一个完整的DAG），则也是一个kkk -馏分用 边缘存在：修复一个 拓扑顺序对节点，将节点分成 个长度为连续间隔，并删除连接相同间隔节点的所有边；这将破坏所有的 -路径长于。 ≤k(n/k2)≈e(G)/k≤k(n/k2)≈e(G)/k\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/kn / k s t kkkkn/kn/kn/kssstttkkk 备注1：天真的尝试给出一个肯定的答案（我也曾尝试过）将试图表明每个DAG必须具有大约不相交的切口。不幸的是，示例2展示了这种尝试可能会严重失败：通过一个很好的论点，David …
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降低SAT NP硬度所需的最小减少深度是多少？
众所周知，SAT是 wrt多项式多一归约的完备方法。它仍是完整的A C 0多一还原。ñ PñP\mathsf{NP}A C0一种C0\mathsf{AC^0} 我的问题是削减的最低要求深度是多少？更正式地说， SAT是N P-硬wrt A C 0 d减一的最小是多少？dddñ PñP\mathsf{NP}A C0d一种Cd0\mathsf{AC^0_d} 在我看来应该足够了？有人知道参考吗？A C02一种C20\mathsf{AC^0_2}
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Beigel-Tarui对ACC认证的改造
我正在阅读Arora和Barak的Computational Complexity一书中关于NEXP的ACC下限的附录。 http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf 关键引理之一是从ACC0ACC0ACC^{0}电路到具有多对数度和拟多项式系数或等价整数的整数的多项式多项式的转换电路类SYM+SYM+SYM^{+}，这是深度两个电路的类，其深度在底数级上具有多对数扇入的近似与门，而在对数级上具有对称门。 在教科书的附录中，假设门集由OR，mod 222，mod 333和常数组成，则此转换分为三个步骤111。第一步是将“或”门的扇入减小为对数顺序。 使用勇士-瓦齐拉尼隔离引理，作者获得该给定的或门上形式的输入ø - [R （X 1，。。。，X 2 ķ），如果我们接ħ是成对独立散列函数，从[ 2 ķ ]至{ 0 ，1 }，则对于任何非零X ∈ { 0 ，1 } 2 ķ至少以概率在1 /（2k2k2^{k}OR(x1,...,x2k)OR(x1,...,x2k)OR (x_{1},...,x_{2^{k}})hhh[2k][2k][2^{k}]{0,1}{0,1}\{ 0,1 \}x∈{0,1}2kx∈{0,1}2kx \in \{0,1\}^{2^{k}}它会认为 Σ 我：ħ （我）= 1 X 我国防部 2。1/(10k)1/(10k)1/(10k)Σi:h(i)=1ximod 2Σi:h(i)=1ximod 2\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 不是的概率至少1 / …
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可以使用Linial-Mansour-Nisan定理和的傅立叶谱知识来证明吗？
结果1：Linial-Mansour-Nisan定理说，电路计算的函数的傅立叶权重集中在小尺寸子集上，概率很高。AC0AC0\mathsf{AC}^0 结果2：的傅立叶权重集中在度数。PARITYPARITY\mathsf{PARITY}nnn 问题：是否有办法通过/使用结果1和2 证明电路无法计算？PARITYPARITY\mathsf{PARITY}AC0AC0\mathsf{AC}^0
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机器表征
是一类决策问题，可通过具有无穷范宁OR和有穷范宁AND门的 O （log i n）深度电路族解决。取反仅在输入级别允许。已知的是，小号甲Ç 我为我≥ 1是根据补体和封闭小号甲Ç 0是没有的。此外，由于LogCFL， S A C 1 = L o g C F L并因此具有机器特征。S一种C一世SAC一世SAC^iO （对数一世n）O（日志一世ñ）O({\log}^i{n})小号A C一世小号一种C一世SAC^i我≥ 1一世≥1个i \geq 1小号A C0小号一种C0SAC^0SAC1=LogCFLSAC1=LogCFLSAC^1 = LogCFL是空间有界和多项式有时间限制的辅助PDA 接受的语言集。是否有类似的机器刻画小号一Ç 我为我≥ 2？O(logn)O(logn)O({\log}n)SACiSACiSAC^ii≥2i≥2i \geq 2
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