Questions tagged «linear-programming»

考虑{1,2，…，n}，F 1，F 2，… F t的不相交的子集。ŤttF1个，F2，… FŤF1,F2,…Ft{\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t} 假设 （*） 对于每一个 和每ř ∈ ˚F我，和Ť ∈ ˚F ķ，有小号∈ ˚F Ĵ含有ř ∩ Ť。i < j < ki<j<ki \lt j \lt k[R ∈ ˚F一世R∈FiR \in {\cal F}_iŤ∈ ˚FķT∈FkT \in {\cal F}_k小号∈ ˚FĴS∈FjS \in {\cal F}_jř ∩ ŤR∩TR \cap T 基本问题是： 不能多大？？？ …

52 co.combinatorics  cg.comp-geom  open-problem  linear-programming 

我一直很难理解完整性差距（IG）的重要性及其界限。IG是最优整数答案（的质量）与问题缓解的最优实际解（的质量）之比。让我们以顶点覆盖（VC）为例。VC可以说是找到以下线性方程组的最佳整数解： 我们有零点/一个值的变量xvxvx_v S表示每一个顶点v∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)的曲线图的GGG。该方程为：0≤xv≤10≤xv≤10 \leq x_v \leq 1为v∈V(G)v∈V(G)v\in V(G)，和1≤xv+xu1≤xv+xu1 \leq x_v+x_u对于每个边缘uv∈E(G)uv∈E(G)uv \in E(G)。我们正在寻找的值，这将减少∑v∈V(G)xv∑v∈V(G)xv\sum_{v \in V(G)} x_v。 这个问题的松弛使得实数值在000到之间，111因此解的空间更大，最优的实解可以小于我们想要找到的最优整数解。因此，我们需要对从线性规划获得的最佳实数答案进行“舍入”处理，以找到整数解。最佳整数解将介于最佳实解和舍入过程的结果之间。IG是最佳整数解决方案与最佳实数解决方案的比率，并且没有说明舍入过程。四舍五入过程可以（理论上）完全忽略实际解并直接计算最佳整数解。 人们为什么对证明IG的界限感兴趣？

44 cc.complexity-theory  ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  integrality-gap 

用于查找线性程序解的单纯形算法的上限是多少？ 我将如何寻找这种情况的证据？似乎最坏的情况是是否必须访问每个顶点，所以它就是。但是实际上，对于更标准的问题，单纯形算法的运行速度明显快于此算法。O(2n)O(2n)O(2^n) 如何使用这种方法解决问题的平均复杂度？ 任何信息或参考，不胜感激！

36 ds.algorithms  linear-programming  simplex  smoothed-analysis 

我想了解Arora-Kale SDP求解器如何在近似线性时间内近似Goemans-Williamson松弛，Plotkin-Shmoys-Tardos求解器如何在近似线性时间内近似分数“包装”和“覆盖”问题，以及算法如何是“向专家学习”抽象框架的实例。 Kale的论文表现出色，但我发现直接进入抽象框架非常困难，我希望从一个简单问题的示例开始，对于该问题，绝对显而易见，然后再转到更一般的问题，逐步向算法及其分析中添加“功能”。 例如： Plotkin-Shmoys如何解决未加权顶点覆盖的线性编程松弛问题？加权顶点覆盖率？设置封面？双向匹配？ Arora-Kale算法执行有趣操作的最简单示例是什么？如何计算图的拉普拉斯算子的最大特征值？ （计算拉普拉斯算子的最大特征值等同于解决Max Cut的Goemans-Williamson SDP松弛的较弱版本的问题，在该问题中，您不希望每个向量的长度为一，而是希望平方和的标准是| V |。）

34 ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  semidefinite-programming 

我对连续优化文献和TCS文献感到困惑，因为它们无法有效解决哪些类型的（连续）数学程序（MP）。连续优化社区似乎声称可以有效解决所有凸程序，但我认为它们的“有效”定义与TCS定义不一致。 在过去的几年中，这个问题一直困扰着我，我似乎找不到一个明确的答案。我希望您能帮助我一劳永逸地解决这一问题：哪些类的MP可以在多项式时间内准确地求解，以及采用哪种方式；关于逼近我们在多项式时间内无法精确求解的MP的最优解的已知信息？ 在下面，我对这个问题给出了不完整的答案，在某些地方也可能是不正确的，因此希望您能在我错的地方验证并纠正我。它还说明了一些我无法回答的问题。 我们都知道，通过运行椭球法或内点法，然后运行一些舍入过程，可以在多项式时间内精确地求解线性规划。线性规划甚至可以在面对具有任何超大量线性约束的LP系列时，通过变量数量的时间多项式求解，只要可以为其提供“分离预言”即可：给出一个点的算法，要么确定该点是否可行，要么输出一个将该点与可行点的多面体分开的超平面。类似地，如果面对具有任何超大量变量的LP系列，则对约束数量的时间多项式进行线性编程（如果为这些LP的对偶提供分离算法）。 如果目标函数中的矩阵是正（半）定的，则椭球法还能够在多项式时间内求解二次程序。我怀疑通过使用分离oracle技巧，如果我们要处理数量惊人的约束，在某些情况下我们也可以这样做。真的吗？ 最近，半定型编程（SDP）在TCS社区中广受欢迎。可以使用内点法或椭球法将它们求解到任意精度。我认为，由于不能精确计算平方根的问题，所以不能完全解决SDP。（？）如果我说SDP有FPTAS，那会是正确的吗？我在任何地方都没有看到该说明，因此可能不正确。但为什么？ 我们可以精确地解决LP和SDP的问题，达到任意精度。其他圆锥程序类别呢？我们可以使用椭球法求解任意精度的二阶锥程序吗？我不知道。 我们可以在哪些MP类上使用椭球法？这样的MP需要满足什么性质才能给出任意精度的答案？为了获得多项式时间的精确解，我们还需要什么其他性质？内点法也有同样的问题。 哦，最后，是什么导致连续优化器说凸程序可以有效地求解？是否可以在多项式时间内找到对凸程序的任意精度答案？我相信不会，那么它们对“效率”的定义在哪些方面与我们的定义不同？ 任何贡献表示赞赏！提前致谢。

31 ds.algorithms  optimization  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

算法设计的一个重要方面是找到一种用于线性规划的强多项式算法，即一种算法，其运行时间在变量和约束的数量上由多项式来界定，并且与参数表示的大小无关（假设单位成本算法）。解决这个问题是否会对线性编程的更好算法产生影响？例如，这种算法的存在/不存在会对几何或复杂性理论产生任何影响吗？ 编辑：也许我应该澄清后果的意思。我正在寻找数学上的后果或有条件的结果，这些暗示现在已经是正确的。例如：“针对BSS模型中LP的多项式算法将分离/折叠代数复杂度类别FOO和BAR”，或“如果没有强多项式算法，那么它将解决有关多位点的此类猜想”或“强多项式算法问题，X可以配制成LP将有有趣的结果等等 ”。Hirsch猜想将是一个很好的例子，除了它仅在单纯形为多项式的情况下适用。

31 ds.algorithms  conditional-results  linear-programming  computing-over-reals  simplex 

我想找到一种确定多项式矩阵的跨度是否包含置换矩阵的多项式时间算法。 如果有人知道这个问题是否属于不同的复杂性类别，那将同样有帮助。 编辑：我已经用线性编程标记了这个问题，因为我强烈怀疑如果存在这样的解决方案，那将是一种线性编程算法。我相信这是因为Birkhoff多面体的极端点恰好是置换矩阵。如果然后您可以找到仅在Birkhoff多边形的顶点上最大化或最小化的目标函数，则可以将函数约束到多边形与向量子空间的交点，然后在多项式时间内将其最大化。如果此值是置换矩阵，则您将知道该集合包含置换。这些就是我对这个问题的想法。 编辑2：经过更多的思考，在我看来，置换矩阵恰好是具有欧几里得范数的Birkhoff多面体的元素√nn−−√\sqrt{n}，我们认为Birkhoff多边形是n×nn×nn \times n置换矩阵的凸包。也许那也很重要。 编辑3：我添加了半定程序设计标签，因为在我之前的评论之后，我开始认为半定程序设计解决方案是可能的，因为它现在是一个线性约束的二次优化算法。

30 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

根据D. den Hertog（线性，二次方和凸规划的内点方法，1994年），具有变量，约束和精度L的线性程序可在O（n ^ 3L）时间内求解。有没有改善？n L O （n 3 L ）ññnññn大号大号LØ （ñ3L ）Ø（ñ3大号）O(n^3L)

25 cc.complexity-theory  reference-request  linear-programming 

考虑以下形式的优化问题。令是多项式时间可计算函数，它将字符串映射为有理数。优化的问题是：什么是最大值超过位串？x f （x ）n xf(x)f(x)f(x)xxxf(x)f(x)f(x)nnnxxx 让我们说，如果存在另一个多项式时间可计算函数，则这样的问题具有minimax特征，从而 成立。在此，x在所有n位字符串上运行，y在所有m位字符串上运行；n和m可能不同，但是它们在多项式上相关。max x f （x ）= 最小y g （y ）x ngggmaxxf(x)=minyg(y)maxxf(x)=minyg(y)\max_x f(x) = \min_y g(y)xxxnnn米Ñ 米yyymmmnnnmmm 许多自然和重要的优化问题都具有这种minimax特征。一些示例（括号中显示了表征所基于的定理）： 线性规划（LP对偶Thm）， 最大流 （最大流Min Cut Thm）， 最大二分匹配 （Konig-Hall Thm）， 最大非二分匹配 （Tutte's Thm，Tutte-Berge公式）， 最大不交集树状有向图 （埃德蒙（Edmond）的不相交分支Thm），无向图中的最大生成树 堆积 （Tutte's Tree Packing Thm）， 最小森林 覆盖率（Nash-Williams Thm）， 最大定向 切块堆积（Lucchesi-Younger Thm）， 最大2螺旋交叉 （Matroid交叉） Thm）， 最大不相交路径 …

23 cc.complexity-theory  graph-algorithms  complexity-classes  optimization  linear-programming 

（这是此问题及其答案的后续内容。） 我有以下完全单模（TU）整数线性程序（ILP）。这里 都是正整数输入的一部分。变量的指定子集设置为零，其余的可以取正整数值：X 我Ĵℓ ，m ，n1个，n2，… ，nℓ，ç1个，ç2， … ，c米，wℓ，米，ñ1个，ñ2，…，ñℓ，C1个，C2，…，C米，w\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},wX我ĴX一世Ĵx_{ij} 最小化 ∑米j = 1CĴ∑ℓ我= 1X我Ĵ∑Ĵ=1个米CĴ∑一世=1个ℓX一世Ĵ\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij} 受： ∑mj=1xij=ni∀i∑j=1mxij=ni∀i\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i ∑ℓi=1xij≥w∀j∑i=1ℓxij≥w∀j\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j 标准形式的系数矩阵是（2 \ ell + m）\ times \ ellm(2ℓ+m)×ℓm(2ℓ+m)×ℓm(2\ell+m)\times \ell m矩阵，其条目来自−1,0,1−1,0,1{-1,0,1}。 我的问题是： 解决此类ILP的多项式时间算法的运行时间已知的最佳上限是多少？您能指出一些对此的参考吗？ 我进行了一些搜索，但是在大多数地方，他们不停地说TU ILP可以使用LP的多项式时间算法在多项式时间内求解。看起来很有希望的一件事是Tardos [1]在1986年发表的一篇论文，她证明了可以通过时间多项式以系数矩阵的形式解决这些问题。但据我所知，该算法的运行时间又取决于求解LP的多项式时间算法的运行时间。 我们是否知道解决这种特殊情况的算法（TU ILP）比解决LP问题的通用算法快得多？ 如果不， 哪种LP算法可以最快（从渐近的角度）解决这种ILP？ [1]解决组合线性程序的强多项式算法，Eva Tardos，运筹学34（2），1986年

21 ds.algorithms  reference-request  linear-programming  integer-programming  polynomial-time 

这个问题是受到多项式Hirsch猜想（PHC）的启发。给定一个 -facet多面体P在- [R d，是它的边缘顶点图表的光谱间隙（称之为ģ）下通过界定Ω （1 / p ø 升ý（Ñ ））？注意，在循环图Ñ顶点表明，即使对于d = 2，光谱间隙可以小到直径：（1 / p ø 升ý（Ñ ））nnnPPPRdRd\mathbb R^dGGGΩ(1/poly(n))Ω(1/poly(n))\Omega(1/\mathrm{poly}(n))nnnd=2d=2d=2O(1/poly(n))O(1/poly(n))O(1/\mathrm{poly}(n)); 因此，猜想的界限（如果属实）将几乎紧缩。 是的答案将暗示PHC。实际上，这也意味着仅通过在多边形顶点上随机游走即可有效地求解线性程序，并且该算法甚至没有对目标函数给予太多关注！这似乎太不可思议了。 那么，此问题的状态是什么：打开（如PHC）或错误？如果为假，是否有简单的反例？ 注意：我刚刚意识到定义扩展器通常会遇到的复杂问题：不必是规则的或二分的。我希望可以使用标准方法来克服这两个技术问题，尤其是不要使我的问题变得微不足道。（如果我错了，请纠正我！）GGG

21 co.combinatorics  linear-programming  expanders 

具体而言，请考虑用于解决两人零和游戏的LP，其中每个玩家有动作。假设回报矩阵每个条目的绝对值最大为1。为简单起见，我们不做任何稀疏假设。一ñnn一种AA 假设运行时可以近似该游戏的值。ŤTT 一种近似于此值的技术是乘法更新方法（在这种情况下称为无悔学习）。这给出了，其中隐藏了对数因子。〜ÔØ〜（n /吨----√）O~(n/T)\tilde O(\sqrt{n/T})Ø〜O~\tilde O 我不知道最著名的内点方法的错误情况到底是什么样子，但我猜该错误类似于。Ø （EXP（− T/ n3））O(exp⁡(−T/n3))O(\exp(-T/n^3)) 乘法更新方法给出的误差是的逆多项式。内点法给出的误差在成倍。因此，两者中最好的一个误差会逐渐减小一段时间，直到内部点赶上，之后误差突然从悬崖上掉下来。我的直觉是反对以这种方式进行最佳的时间/错误权衡。ŤŤTTŤTT 我的问题： 是否有一种用于近似线性规划的算法可以平滑时间/误差折衷曲线的角？也就是说，一种算法在可用时间参数的任何值上至少表现出两者中最好的，并且具有相对平滑的时间/误差折衷。一种结合内部点和乘法更新技术的智能方法，而不是两者中的更好方法，是获得这种算法的一种可能方法。 参考文献： 一般的乘法更新： http://www.cs.princeton.edu/~arora/pubs/MWsurvey.pdf 零和游戏的乘法更新： http://dx.doi.org/10.1016/0167-6377(95)00032-0 覆盖/打包LP的倍增更新： http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0801/0801.1987v1.pdf 原始内饰点纸： http://math.stanford.edu/~lekheng/courses/302/classics/karmarkar.pdf 从应用数学的角度看内点： Bertsekas的《非线性规划》，第4.1.1节。

19 ds.algorithms  approximation-algorithms  online-learning  linear-programming 

对于LP二元性的“命中点”，什么是非正式/直观的良好证明？如何以直观的方式了解界限，才能最好地证明最小化目标函数确实是最小值？ 我的教学方式对偶性仅导致一种我可以肯定的认识，我认识的很多人都认同这种理解：对于每个相应的最小化问题，都有一个等效的最大化问题，可以通过逆转不平等约束来得出。期。二元性的这种“结论”似乎固守，但不是“为什么这样”（即，最优解如何/为什么有界）。 是否有一种处理不等式的方法，只是“显示”最优值的上下限，这可能是证明的动力？ 我已经遍历了Chvatal的书以及其他几本书，但没有发现LP的绝对新手可以理解的内容。我最接近的是瓦兹拉尼（Vazirani）关于算法的书，他在书中谈到“将不等式乘以一些显示界限的魔术数”-我不确定如何为任意LP再现效果。

19 linear-programming  primal-dual 

是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

当我们考虑一个最小化问题的近似算法时，针对该问题的IP公式的完整性差距为某些类算法（例如舍入或原始对偶算法）给出了近似比率的下限。实际上，存在许多问题，它们的最佳逼近率与完整性差距相匹配。 对于某些问题，某些算法的逼近率可能比完整性差距好，但我不知道是否存在这样的例子。如果答案是肯定的，您能举一些例子吗？ 我知道有些问题允许使用多种数学公式。在这种情况下，请考虑具有最小积分间隙的数学公式，只要可以在多项式时间内求解即可（也许某些公式可能使用分隔符号）。 这个问题与[问题：完整性差距的重要性]有关。

18 ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  integrality-gap