Questions tagged «max-cut»

G=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V, E, w)w:E→Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)arg⁡maxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)Ë ∈ Ëw(e)≥0w(e)≥0w(e) \geq 0e∈Ee∈Ee \in E 挑选顶点的随机子集。SSS 在顶点上选择一个顺序，然后贪婪地将每个顶点放置在或以最大化到目前为止切割的边小号ˉ 小号vvvSSSS¯S¯\bar{S} 进行局部改进：如果SSS中有任何顶点可以移动到S¯S¯\bar{S}以增加切割（反之亦然），则进行移动。 对所有这些算法的标准分析实际上表明，所得的割幅至少与\ frac {1} {2} \ sum_ {e \ in E} w（e）一样大12∑e∈Ew(e)12∑e∈Ew(e)\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)，这是1/2的上限1/21/21/2如果www为非负数，则最大切割的权重-但是如果允许某些边缘具有负权重，则不是！ 例如，算法1（选择顶点的随机子集）在带有负边权重的图上显然会失败。 我的问题是： 是否有一种简单的组合算法，可以对可具有负边权重的图的最大割问题得到O（1）近似值？ 为了避免最大割取值0的可能发粘的问题000，我将允许∑e∈Ew(e)>0∑e∈Ew(e)>0\sum_{e \in E}w(e) > 0，并且/或者除可导致较小附加误差的算法外，还应予以满足乘法因子近似。

35 ds.algorithms  graph-theory  approximation-algorithms  max-cut 

好的，从某种意义上讲，这似乎是一个作业问题。作为本科算法课的一项家庭作业，我讲了以下经典著作： 给定一个无向图，给出一种算法，该算法可以找到一个切口使得，其中是穿过切口的边数。时间复杂度必须为。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)(S,S¯)(S,S¯)(S,\bar{S})δ(S,S¯)≥|E|/2δ(S,S¯)≥|E|/2\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2δ(S,S¯)δ(S,S¯)\delta(S,\bar{S})O(V+E)O(V+E)O(V+E) 由于某种原因，我得到了很多以下解决方案。现在，它确实花费了太多时间，所以这不是分级的问题，但是我感到很好奇。它“似乎”不正确，但是我所有的反例尝试都失败了。这里是： 设置S←∅S←∅S\leftarrow \emptyset 设为图中的最大度顶点vvv 将加到vvvSSS 删除与相邻的所有边vvv 如果返回2δ(S,S¯)&lt;|E|/2δ(S,S¯)&lt;|E|/2\delta(S,\bar{S}) < |E|/2 请注意，步骤5 中的是指原始图形。还要注意，如果我们跳过了步骤4，这显然是错误的（例如，一个三角形的两个独立边的并集）。EEE 现在，任何简单的证明都有以下​​问题-可能是，当我们添加新的顶点，实际上删除了在添加新边（其中指删除边的图形同时，从切割中切入边。问题是，如果这不利于我们的原因，则意味着“用于” 该顶点程度更高，因此“应该”被更早地选择。vvv|S||S||S|d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)vvv 这是众所周知的算法吗？是否有一些简单的反例？

21 graph-algorithms  max-cut  greedy-algorithms 

是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε &gt; 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

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令x1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_n为平面R2R2\mathbb{R}^2。考虑一个完整的图，以点为顶点，边权重为∥xi−xj∥2‖xi−xj‖2\|x_i - x_j\|^2。您是否总能找到至少减少2的体重2323\frac 2 3总重量的 3？如果不是，则哪个常数应替换2323\frac 2 3？ 我能找到的最糟糕的例子是等边三角形上的3个点，该点达到了2323\frac 2 3。请注意，随机分割会产生1212\frac 1 2，但从直觉上看，很明显，在低维度上，人们可以比随机地更好地聚集。 对于k&gt; 2的max-k-cut会发生什么？尺寸d&gt; 2怎么样？是否有回答此类问题的框架？我知道Cheeger的不等式，但是这些不等式适用于最稀疏的切割（而不是最大切割），并且仅适用于规则图。 （问题的灵感来自计算机图形中的光源聚类问题，以最大程度地减少方差）。

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我正在寻找名称或任何对此问题的引用。 给定加权图G = （V，E，w ）G=(V,E,w)G = (V, E, w)找到顶点的一个划分，直至n = | V|n=|V|n = |V|套小号1个，… ，SñS1,…,SnS_1,\ldots,S_n以便最大化切割边缘的值： Ç （小号1个，… ，Sñ）= ∑i ≠ j⎛⎝∑（ü ，v ）∈ Ë：ü ∈ 小号一世，v ∈ 小号Ĵw （u ，v ）⎞⎠c(S1,…,Sn)=∑i≠j(∑(u,v)∈E:u∈Si,v∈Sjw(u,v))c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right) 请注意，一些套小号一世SiS_i可以为空。因此，问题本质上是最大k割，除了ķkk不是输入的一部分：算法可以选择它喜欢的任何ķkk以便最大化割边的值。显然，如果边缘权重为非负数，问题将变得微不足道：只需将每个顶点单独放置在自己的集合中，然后剪切所有边缘即可。但是，为了使事情变得有趣，允许负负边缘。 这是一个研究的问题吗？参考算法或硬度结果将不胜感激！

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我对图的显式示例感兴趣，在这些图的示例中，Goemans和Williamson算法用于近似最大切割的结果为0.878…近似因子。 创建此类实例的算法将是完美的，明确的示例和参考也令人满意。

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实矩阵的割范数是所有的最大值数量的。||A||C||A||C||A||_CA=(ai,j)∈Rn×nA=(ai,j)∈Rn×nA = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}I⊆[n],J⊆[n]I⊆[n],J⊆[n]I \subseteq [n], J \subseteq [n]∣∣∑i∈I,j∈Jai,j∣∣|∑i∈I,j∈Jai,j|\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right| 将两个矩阵和之间的距离定义为AAABBBdC(A,B)=||A−B||CdC(A,B)=||A−B||Cd_C(A,B) = ||A-B||_C 度量空间的最小 -net多少？（[ 0 ，1 ] Ñ × Ñ，d Ç）ϵϵ\epsilon([0,1]n×n,dC)([0,1]n×n,dC)([0,1]^{n\times n}, d_C) 即最小子集，使得对于所有，存在一个这样。 甲∈ [ 0 ，1 ] Ñ × Ñ甲' ∈ 小号d Ç（甲，甲'）≤ εS⊂[0,1]n×nS⊂[0,1]n×nS \subset [0,1]^{n\times n}A∈[0,1]n×nA∈[0,1]n×nA \in [0,1]^{n\times n}A′∈SA′∈SA' \in …

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我正在研究独特游戏猜想和著名的Khot等人的Max-Cut简化。从他们的论文以及互联网上的其他地方，大多数作者都使用（对我来说是）MAX-CUT缩减与构建长代码特定测试之间的隐式等效。由于我自己对这种等效性缺乏明确性，因此我努力遵循这种思路。 从这些论述中也可以清楚地看出，人们可以纯粹用图表来描述减少量，但是通过巧合或偏好，没有人选择这样做。例如，在O'Donnell的这些演讲笔记中，他暗示长代码测试对应于所构造图形中边缘的自然定义，但由于未明确指出，该规则似乎取决于切割的选择定义要测试的布尔函数，这让我很困惑。 因此，我要求有人从理论上解释简化的“正好”图。我认为这将有助于我理解两种观点之间的对等。

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在Max-Cut问题中，人们寻找给定简单无向图的顶点的子集S，以使S和S的补数之间的边数尽可能大。 Max-Cut在有界度图[PY91]上是APX完整的，实际上在三次图（即3度图）上是APX完整的[AK00]。 Max-Cut在最大度为3 [LY80]的无三角形图中是NP完全的（无三角形表示输入图不包含K_3，即在3个顶点上的完整图作为子图）。 问题： Max-Cut APX在无三角形图中是否完整？（注：允许任意度数） 谢谢。 更新：已经找到答案，但是如果有的话，我仍然会对此结果感兴趣。 参考文献： [AK00] P. Alimonti和V. Kann：三次图的一些APX完整性结果。理论。计算 科学 237（1-2）：123-134，2000. doi：10.1016 / S0304-3975（98）00158-3 [LY80] JM Lewis和M. Yannakakis：遗传属性的节点删除问题是NP完全。J.计算机 Syst。科学 20（2）：219-230，1980. doi：10.1016 / 0022-0000（80）90060-4 [PY91] CH Papadimitriou和M. Yannakakis：最优化，近似和复杂度类，J。Comput。系统科学，43（3）：425-440，1991. doi：10.1016 / 0022-0000（91）90023-X

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