理论计算机科学

理论计算机科学家和相关领域的研究人员的问答

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不使用Karger算法的图的最小切数
我们知道，可以使用Karger的mincut算法（以非建设性的方式）证明图可以具有的最大mincut数量为。(n2)(n2)n \choose 2 我想知道我们是否可以通过从一组mincut到另一组基数n \ choose 2给出双射的（而不是单射的）证明来证明这一身份(n2)(n2)n \choose 2。没有具体原因，这只是出于好奇。我尝试自己做，但到目前为止还没有成功。我不想让任何人浪费时间在上面，因此，如果问题似乎毫无意义，我将要求主持人采取相应行动。 最佳-阿卡什
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是{ww'| HamDist（w，w'）> 1}是否与上下文无关？
阅读最近的问题后，“是的补{www∣...}{www∣...}\{ www \mid ...\}上下文无关？” ; 我记得我无法反驳的类似问题： 是L={ww′∣w,w′∈{0,1}∗∧|w|=|w′|∧HamDist(w,w′)>1}L={ww′∣w,w′∈{0,1}∗∧|w|=|w′|∧HamDist(w,w′)>1}L = \{ ww' \mid w,w' \in \{0,1\}^* \land |w|=|w'| \land HamDist(w,w')>1 \}上下文无关？ 在这里，我们要求两个弦至少在两个位置不同（汉明距离必须大于111）。 如果我们要求它是上下文无关HamDist(w,w′)≥1HamDist(w,w′)≥1HamDist(w,w')\geq 1（即，两个字符串必须简单地是不同的）。 我怀疑该语言不是上下文无关的：如果我们将其与常规的0∗10∗10∗10∗0∗10∗10∗10∗0^*10^*10^*10^*相交，则会 遇到PDA在到达字符串的一半后应该以相反的顺序“记住”两个位置的情况。 更新：如果我们将LLL与正则R={0∗10∗10∗10∗}R={0∗10∗10∗10∗}R = \{ 0^*10^*10^*10^* \}相交，我们将得到上下文无关的语言，如domotorp在他的回答中所示；一个稍微复杂的L∩R′L∩R′L \cap R' 与 R′={0∗10∗10∗10∗10∗10∗}R′={0∗10∗10∗10∗10∗10∗}R' = \{ 0^*10^*10^*10^*10^*10^* \}（多一个111到“追踪”的）还是建议LLL不应上下文无关。
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没有反例的自动机学习
在Angluin的自动学习框架，学生的目标去学习正则语言L⊆Σ∗L⊆Σ∗L\subseteq \Sigma^*问两类问题，以他的老师： 字查询：给定w∈Σ∗w∈Σ∗w\in \Sigma^*，是w∈Lw∈Lw\in L？ 等效查询：给定一个语言K⊆Σ∗K⊆Σ∗K\subseteq \Sigma^*，是K=LK=LK=L？如果不是，老师给出了一个反例，即字w∈K∖L∪L∖Kw∈K∖L∪L∖Kw\in K\setminus L \cup L\setminus K。 使用Angluin的算法，学生学习LLL用的最小DFA的状态数多项式许多查询LLL和反例的大小。 现在，考虑一个受限的情况，即老师不再提供反例。是否仍然可以使用多项式查询来学习L？我猜想并非如此，因为对于查询和答案的每一个多项式长度序列，都可以找到与答案一致的几种常规语言。 有人看到如何证明这一点吗？
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如果存在单向功能，可以保证单向功能吗？
写下一个古老的技巧是编写一个算法，如果P = NP，则可以在多项式时间内求解SAT。从本质上讲，它列出了所有多项式时间机器以及它们之上的多任务。 单向功能（甚至单向活板门功能）是否有类似的技巧？也就是说，如果存在单向函数，我们是否可以写下一个必须是单向函数的函数？ 似乎没有简单的方法来模仿P = NP技巧。在这种情况下，当我们得到一个解决方案时，我们可以快速识别。但是，如果我在所有多项式时间函数上执行多任务，那么当我到达一个单项函数时，没有明显的方法来识别它。 如果上述问题的答案是否定的，是否有某种论点为什么我们不能做到？也许写下这样一个函数会以某种方式证明单向函数存在？
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将扩展到
奥马尔莱因戈尔德的证明，给出USTCON的算法（在ü ndirected特殊顶点图形和，他们是精读只使用LOGSPACE nected？）。基本思想是从原始图构建扩展图，然后在扩展图中遍历。扩展图是通过对数平方对数原始图来制成的。在展开图中，直径仅是对数的，因此对数深度的DFS搜索就足够了。L=SLL=SLL=SLsssttt 将结果扩展到意味着存在DSTCON的对数空间算法-相同，但对于D方向图。（有时只是STCON。）我的问题，也许稍微有些柔和，是将Reingold的证明扩展到这一点的主要障碍是什么？L=NLL=NLL=NL 感觉有点像应该有一种“定向扩展器”图。类似的构造，在其中添加对应于中等长度定向路径的边，然后添加对应于长路径的边；然后您可以通过沿短路径移动到长路径来遍历具有对数深度的图形；然后返回到短路径。 这个概念是否存在重大缺陷？还是这样的扩展器没有好的构造？还是以某种方式比无向版本需要更多的内存？ 不幸的是，我在定向扩展器图上根本找不到很多东西。实际上，基本上我所能找到的只是/math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution（此问题尚未得到解答）和https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers。我应该搜索另一个术语吗？
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Babai的拟多项式时间
在Babai的里程碑式论文中，我有一个问题（希望很简单，也许很愚蠢），表明是准多项式。GIGI\mathsf{GI} 鲍鲍伊展示了如何产生一个证书两个图为我∈ { 1 ，2 }是同构的，在时间拟多项式v = | V i | 。Gi=(Vi,Ei)Gi=(Vi,Ei)G_i=(V_i,E_i)i∈{1,2}i∈{1,2}i\in\{1,2\}v=|Vi|v=|Vi|v=|V_i| 难道八佰实际上显示了如何找到一个元素是的置换的顶点摹1至G ^ 2，或者是仅仅证书的存在语句？π∈Svπ∈Sv\pi\in S_vG1G1G_1G2G2G_2 如果一个甲骨文告诉我和G 2是同构的，我是否仍然需要浏览所有v ！顶点的排列？G1G1G_1G2G2G_2v!v!v! 我之所以问是因为我也考虑结等效性。据我所知，这不是未知的，但是说检测到不整齐是在。实际上找到一系列Reidemeister动作来解开结可能仍需要花费指数时间...PP\mathsf{P}
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有限自动机接受的具有最少不同字母的单词问题的复杂性
给定一个有限的（确定性或非确定性的，我认为这不太重要）自动机A和一个阈值n，A是否接受最多包含n个不同字母的单词？ （用k个不同的字母表示aabaa有两个不同的字母a和b。） 我证明这个问题是NP完全的，但是我的归约产生了自动机，其中相同的字母出现在许多转换中。 我对每个字母最多在A中出现k次（其中k是固定参数）的情况很感兴趣。问题是否仍然是NP完整的？ 对于k = 1，问题只是最短的路径，P也是如此。对于k = 2，我既无法显示P的成员身份，也无法找到NP硬度的证明。 任何想法，至少对于k = 2？
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图次要定理的反向数学强度得出的结论
假设我们有一个可以在不确定的多项式时间内检查的图属性，并在一个弱形式系统（例如RCA 0）中证明了该属性是次要封闭的。我们能否说一说正式系统的强度，它能证明给定有限组的未成年人构成了给定图的特性？ 背景众所周知的是已经是一个简单的版本（没有良好的准有序标签集）的Kruskal的树定理是ATR无法证明的0和图形次要定理是定理的推广这不是在Π甚至可证1 1 -CA 0。Friedman使用那个简单的Kruskal树定理来构造快速增长的TREE（n）函数，并使用图次要定理来构造甚至更快地增长的SSCG（n）函数。这些是从逆向数学强度得出的有关计算内容的结论的很好的证明，但这些未解决上面提出的更直接的问题。 即，与图次要定理相关的证明是，如果人们知道该属性的排除次要对象列表，则可以在确定的立方时间内测试次要封闭属性。因此很自然地想知道，证明一个给定的“容易”（在问题中已明确指出）未成年人封闭财产，发现所有被排除的未成年人是多么“不可能”。由于这是一个“非均匀”任务，因此我不清楚该任务的“不可能”是否完全与证明图次要定理本身的“难度”（即逆数学强度）有关。 由于Kruskal树定理的简单形式提出的问题与图次要定理完全相同，因此，如果需要，答案可能集中在该较简单的问题上。我只是使用了图次要定理，因为这样感觉问题更加自然。（这个问题可能至少更适合于MSE或MSO，至少在获得确定的答案方面。但是这个问题的动机与TCS更相关，所以我决定在这里提出。）
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计算积极的CNF-SAT中满意的作业数量
我们知道在给定的通用布尔公式（CNF-SAT），给定的DNF公式甚至给定的2SAT公式中计算满足分配数的问题是#P 完全问题。 现在，考虑一个CNF-SAT，而没有负文字（不，总是一）。决策问题非常容易（将所有变量设置为TRUE并检查赋值是否满足公式），但是如何计算满足赋值的数量呢？这有多项式时间算法吗？或这是#P完全问题。¬ 一个¬A\neg AAAA
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是否有一些有趣的图类难以计算树宽？
Treewith是重要的图形参数，它指示图形离成为树有多近（尽管不是严格的拓扑意义）。 众所周知，计算树宽是NP难的。 有没有树形图很难计算的自然图类？ 类似地： 是否有一些有趣的图类可以轻松计算树宽？如果是，是否可以利用任何结构特性/测试？即，图形具有属性X ⇒计算的树宽ģ ∈ P。GGGXXX ⇒⇒\RightarrowG∈PG∈PG \in \mathbf{P}
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与“第二大”
HT(n)HT(n)HT(n)nnnBB(n)=maxHT(n)BB(n)=maxHT(n)BB(n) = \max HT(n) 关于的第二大数字，我们能说什么？将此。HT(n)HT(n)HT(n)BB2(n)BB2(n)BB_2(n) BB2(n)BB2(n)BB_2(n)很难计算，因为它允许一个计算：只需等待另一台机器停止运行。天真地，我希望的差距像“忙碌的海狸一样”，比任何可计算的函数增长都快。这可以证明吗？BB(n)BB(n)BB(n)BB(n)−BB2(n)BB(n)−BB2(n)BB(n) - BB_2(n)
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在线上的并行卵石游戏
在一行上的Pebble游戏中，有N + 1个标记为0到N的节点。该游戏从节点0上的卵石开始。如果节点i上存在卵石，则可以从节点i + 1添加或删除卵石。目的是在节点N上放置一个小石子，而无需同时在板上放置许多小石子，并且无需执行太多步骤。 天真的解决方案是在1、2、3等上放置一个卵石。就步骤数而言，这是最佳的。同时板上的最大卵石数量并不是最佳的：在最后一步中，板上有N个卵石（不计0的卵石）。 在同一时间放置在电路板上较少的卵石策略是在本文中。它们一次到达节点N而不会超过Θ(lgN)Θ(lg⁡N)\Theta(\lg N)小卵石，但是代价是将步数增加到Θ(nlg23)Θ(nlg2⁡3)\Theta(n^{\lg_2 3})。他们切换是否有一个在位置上的卵石NNN而不通过递归地切换周围留下任何其他卵石N/2N/2N/2，使用作为起始点到肘节NNN与另一递归步骤，则切换N/2N/2N/2与第三半尺寸递归步骤以清除它。 我对卵石的最大数量和步骤数之间的权衡取舍很感兴趣，假设卵石的添加和去除可以并行进行。“平行”是指每个步骤可以根据需要添加或删除任意数量的卵石，只要允许每个单独的添加/删除并且不与进行的其他移动相互作用即可。具体来说，如果AAA是我们要添加或删除卵石的节点集合，而PPP是在步骤开始时具有卵石的节点集合，则我们可以在单个步骤中完成所有这些添加和去除操作，如下所示：只要{a−1|a∈A}⊆P−A{a−1|a∈A}⊆P−A\{a-1 | a \in A \} \subseteq P - A。 例如，考虑在步骤i上将卵石放置在iii上但标记为√的倍数的卵石的策略iiiN−−√N\sqrt{N}作为“检查点”，并在可能的情况下除去有卵石的检查点后面的最高索引的卵石。这种策略仍然到达节点N后NNN步骤，例如幼稚的策略，但降低卵石的最大数目从NNN到2N−−√2N2 \sqrt{N}。 是否有以步完成的平行线扰动策略，甚至具有更低的渐近最大卵石复杂度？如果我们愿意允许O （N lg N ）个步骤怎么办？在最大卵石和时间之间的权衡特别好的“有趣”点是什么？NNNO(NlgN)O(Nlg⁡N)O(N \lg N)
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关于无限半环的阿德曼定理？
阿德勒曼已示于1978年：如果布尔函数˚F的Ñ变量可由大小的概率布尔电路来计算中号，然后˚F也可以通过尺寸的确定性布尔电路计算M和n的多项式; 实际上，大小为O （n M ）。 BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}fffnnnMMMfffMMMnnnO(nM)O(nM)O(nM) 一般问题：在什么其他的（不是布尔）半环确实持有？ BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly} 要多的位特异性的，一个概率电路 在半环（小号，+ ，⋅ ，0 ，1 ）使用其“增加” （+ ）和“乘法‘’ （⋅ ）操作作为栅极。输入是输入变量X 1，... ，X ñ以及可能的附加随机变量，它采用的数值的一些数量的0和1 独立地以概率1 / 2 ;在这里CC\mathsf{C}(S,+,⋅,0,1)(S,+,⋅,0,1)(S,+,\cdot,0,1)(+)(+)(+)(⋅)(⋅)(\cdot)x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_n0001111/21/21/2 和 1分别是半环的加法和乘法身份。这样的电路 Ç计算给定功能的 ˚F ：小号Ñ → 小号如果对于每个 X ∈ 小号Ñ， P [R [ Ç（X ）= ˚F （X ）] ≥ 2 / 3。 000111CC\mathsf{C} …
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有向图中一对顶点不相交的循环
能识别带有一对顶点不相交周期的有向图的最快的已知确定性算法是什么？我知道最小分数为3的图总是有这样的对（Thomassen'83），但是即使如此，在一般情况下我也找不到高效的算法。有人知道这个的参考吗？
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DFS树对于哪些图始终是路径？
深度优先搜索树（对于所有可能的起始顶点以及对于哪个邻居首先搜索的所有选择）都是针对哪些无向图的有向路径？也就是说，每一个DFS树应该只有一个叶子，而每个其他顶点都应该只有一个孩子。 例如，对于循环，完整图和平衡完整的二部图，这是正确的。 在NP中，显然找到不是路径的DFS树。它是NP完全的还是多项式？
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