LEN模型等效
起始位置是具有不完整信息（道德风险）和以下特性的委托代理模型： 代理程式公用程式：u(z)=−e(−raz)u(z)=−e(−raz)u(z)=-e^{(-r_az)} 主要效用：B(z)=−e(−rpz)B(z)=−e(−rpz)B(z)=-e^{(-r_pz)} 工作量e∈Re∈Re\in \Bbb R 结果x∈R,x∼N(μ(e),σ),μ′(e)>0,μ′′(e)≤0x∈R,x∼N(μ(e),σ),μ′(e)>0,μ″(e)≤0x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0 合约：w(x)=a+bxw(x)=a+bxw(x)=a+bx， 其中rArAr_A和rPrPr_P是代理和委托人的绝对风险规避的Arrow-Pratt度量。 我正在寻找在代理人的工作不可见时委托人提供给代理人的最佳合同。主体的实用程序可编写如下： UP(e,a,b)=∫∞−∞−e(−rP((1−b)x−a))f(x∣e)dxUP(e,a,b)=∫−∞∞−e(−rP((1−b)x−a))f(x∣e)dxU^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx 我想证明以下等价成立，这意味着委托人效用的最大化可以写为以下等价的RHS： maxe,a,b∫∞−∞−e(−rP((1−b)x−a))f(x∣e)dx⇔maxe,a,b(1−b)μ(e)−a−rP2(1−b)2σ2maxe,a,b∫−∞∞−e(−rP((1−b)x−a))f(x∣e)dx⇔maxe,a,b(1−b)μ(e)−a−rP2(1−b)2σ2\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2 其中是正常随机变量的密度函数，其期望值为且方差。f(x|e)=1σ2π√e(−12(x−μ(e)σ)2)f(x|e)=1σ2πe(−12(x−μ(e)σ)2)f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}x∼N(μ(e),σ)x∼N(μ(e),σ)x\sim N(\mu(e),\sigma)μ(e)μ(e)\mu(e)σ>0σ>0\sigma>0 我试图在LHS中使用的显式形式，对其进行一些操作然后进行迭代，但是无法获得等效项。f(x|e)f(x|e)f(x|e)