Questions tagged «planar-graphs»

有多种算法可在多项式时间内决定是否可以在平面上绘制图形，甚至有许多算法具有线性运行时间。但是，我找不到一种非常简单的算法，可以在课堂上轻松，快速地进行解释，并且无法证明PLANARITY在P中。您知道吗？ 如有必要，可以使用Kuratowski定理或Fary定理，但不能使用任何深层次的定理，例如图次要定理。还要注意，我不在乎运行时间，我只想要一些多项式。 以下是到目前为止的3种最佳算法，它们显示了简单/无需深入理论所需的权衡。 算法1：通过使用该算法，我们可以检查图在多项式时间内是否包含或作为次要，我们使用了深层理论，得到了一个非常简单的算法。（请注意，正如Saeed所指出的那样，该理论已经使用了图嵌入，所以这并不是真正的算法方法，只是简单地告诉已经知道/接受图次要定理的学生。）ķ5ķ5K_5ķ3 ，3ķ3，3K_{3,3} 算法2 [基于某人的答案]：显而易见，它足以处理3个连通图。对于这些，找到一张脸，然后应用Tutte的弹簧定理。 算法3 [Juho建议]：Demoucron，Malgrange和Pertuiset（DMP）算法。画一个循环，剩余图的组件称为片段，我们以适当的方式嵌入它们（同时创建新片段）。这种方法不使用其他定理。

28 graph-algorithms  co.combinatorics  planar-graphs 

众所周知，汉密尔顿周期（简称Ham）是NP完全的，而平面Ham周期是NP完全的。平面火腿周期的证明不是来自火腿周期。 在给定图形G的情况下，有没有一个好的小工具将所有交叉点替换为某个平面小工具，这样您就得到了一个平面图形G'，使得 G具有火腿周期，而G'具有火腿周期。 （我将对各种变体感到满意，例如火腿路径或定向火腿循环或定向火腿路径。）

23 cc.complexity-theory  np-hardness  planar-graphs  hamiltonian-paths 

考虑一个建模为平面图G的电网，其中每个边缘代表一个1Ω电阻。 我们多快可以计算出G中两个顶点之间的确切有效电阻？ 等效地，如果将1V电池连接到G中的两个顶点，我们将能够多快地计算出沿每个边缘流动的确切电流？ 基尔霍夫（Kirchhoff）著名的电压和电流定律将这个问题简化为求解线性方程组，每个边沿具有一个变量。最近的结果（由Klein和Randić（1993）明确描述，但隐含在Doyle和Snell（1984）的早期工作中）将问题简化为求解一个线性系统，该线性系统的每个顶点具有一个变量，表示该节点的势能。该线性系统的矩阵是图的拉普拉斯矩阵。 是线性系统可以精确地在解决使用嵌套解剖和平面分离器[时间立顿玫瑰的Tarjan 1979 ]。 这是最快的算法吗？Ø （ñ3 / 2）Ø（ñ3/2）O(n^{3/2}) Spielman，Teng等人的最新开创性结果表明，任意图中的Laplacian系统都可以在近似线性时间内求解。有关当前最佳运行时间，请参见[ Koutis Miller Peng 2010 ]，以及Simons Foundation的Erica Klarreich撰写的这篇精彩文章，以提供高层次的概述。但是我对平面图的精确算法特别感兴趣。 假设计算模型支持恒定时间的精确实数运算。

22 ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics 

是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

平面图的属为零。可嵌入到圆环上的图形最多为1类。我的问题很简单： 在平面图上是否存在多项式可解但在第一类图上为NP-hard的问题？ 更一般而言，在g属图上是否存在多项式可解但在> g属图上为NP-hard的问题？

17 cc.complexity-theory  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs 

可以在时间内对普通图形中的三角形进行计数，而我认为这样做要快得多是困难的（欢迎参考）。平面图呢？下面的简单过程表明可以在O （n log n）时间内完成此过程。我的问题有两个：O(n3)O(n3)O(n^3)O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log{n}) 此过程有什么参考？ 时间可以设为线性吗？ 根据Lipton-Tarjan平面分离器定理的算法证明，我们可以在时间上以线性于图的大小的形式，将图的顶点划分为三组，从而不存在带有端点的边A和B中的另一个，S的大小由O （√A,B,SA,B,SA,B,SAAABBBSSS且A，B的大小均以 2为上限O(n−−√)O(n)O(\sqrt{n})A,BA,BA,B顶点的数目。注意，图中的任一完全位于内部的任何三角形甲或全部内部乙或用途中的至少一个顶点小号与来自另两个顶点甲∪小号或两者从乙∪小号。因此，它足以计算三角形的在图表上的数小号和的邻居小号在甲（以及类似地为乙）。请注意，S及其A邻居诱发了一个k外平面图（该图是直径为4的平面图的子图。2323\frac{2}{3}AAABBBSSSA∪SA∪SA \cup SB∪SB∪SB \cup SSSSSSSAAABBBSSSAAAkkk444）。因此，可以通过动态编程或应用库尔塞勒定理直接计算这种图中三角形的数量（我确信Elberfeld等人已经在Logspace世界中找到了这种计数版本，并且我猜想它也存在）在线性时间世界中），因为形成无向三角形是性质，并且由于从嵌入的k外平面图很容易获得有界宽度树分解。MSO1MSO1\mathsf{MSO}_1kkk 因此，我们将问题简化为一对问题，每对问题都减少了一个恒定的分数，但以线性时间程序为代价。 请注意，可以扩展该过程以查找时间内输入图内任何固定连接图的实例数。O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log{n})

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平面图是 -免费。这样的图可以分解为三连接的组件，已知它们是平面组件或K 5组件。ķ3 ，3ķ3，3K_{3,3}ķ5ķ5K_5 属一类的图有这样的“很好”的分解吗？ 在对图未成年人的开创性工作中，罗伯斯顿和西摩表明，每个未成年人图都可以分解为“几乎平面”图的“总和”。当然，这也适用于有界图。我正在寻找特定于第一类图的分解，以更好地了解它们的结构特性。

15 graph-theory  co.combinatorics  planar-graphs  graph-minor 

设G是n节点无向图，和设T为V（G）称为的节点子集的终端。甲距离保护者（G，T）的是满足特性的曲线图ħ dH（u ，v ）= dG（u ，v ）dH（ü，v）=dG（ü，v）d_H(u,v) = d_G(u,v) 对于T中的所有节点u，v。（请注意，H不一定是G的子图。） 例如，令G为下图（a），T为外表面上的节点。则图（b）是（G，T）的距离保持器。 已知存在具有各种参数的距离保持器。我对具有以下属性的一个特别感兴趣： G是平面且未加权（即G的所有边的权重为1）， T的大小为，并且Ø （ñ0.5）Ø（ñ0.5）O(n^{0.5}) H的大小（节点和边的数量）为。（如果我们有O （no （n ）Ø（ñ）o(n)。）Ø （ñ日志日志ñ）Ø（ñ日志⁡日志⁡ñ）O(\frac{n}{\log\log n}) 是否存在这样的距离保持器？ 如果不能满足以上条件，则可以放松。 参考文献： 稀疏的按源和按对距离保存器，Don Coppersmith和Michael Elkin，SIDMA，2006年。 稀疏距离保存器和加法扳手，BélaBollobás，Don Coppersmith和Michael Elkin，SIDMA，2005年。 具有亚线性距离误差的扳手和仿真器，Mikkel Thorup和Uri Zwick，SODA，2006年。 添加剂，仿真器等的下界，FOCS的David P. Woodruff，2006年。 距离保持器也被称为模拟器 ; 通过搜索术语spanner可以在互联网上找到许多相关的工作，这需要H成为G的子图。但是在我的应用程序中，只要H保留G中T之间的距离，我们也可以使用其他图。

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Koebe有一个美丽的定理（请参见此处），指出可以将任何平面图绘制为磁盘的吻合图（非常浪漫...）。（换句话说，可以将任何平面图绘制为磁盘的交集图。） Koebe定理不是很容易证明。我的问题是：该定理是否有一个更简单的版本，即允许使用任何胖凸形状代替圆盘（凸度可能需要协商，但不能胖）。注意，每个顶点可以是不同的形状。 谢谢... 澄清：对于形状，让- [R （X ）是的最小包围球的半径X，让- [R （X ）让我在最大封闭的球的半径小号。形状小号是α -fat如果ř （X ）/ [R （X ）≤ α。（这不是肥胖的唯一定义，顺便说一句。）XXX[R （X）R(X)R(X)XXX[R （X）r(X)r(X)小号SS小号SSαα\alpha[R （X ）/ [R （X ）≤ α[R（X）/[R（X）≤αR(x) /r(x) \leq \alpha

14 cg.comp-geom  planar-graphs 

在写一篇关于电子游戏的复杂性的小文章时，Nibbler和Snake ; 我发现它们都可以建模为平面图上的重新配置问题。并且似乎不太可能在运动计划领域中没有很好地研究此类问题（例如，想象中的是一连串的滑架或机器人）。游戏是众所周知的，但这是相关重新配置模型的简短描述： 蛇问题 输入：给定一个平面图形，卵石被放置在节点形成一个简单的路径。小卵石代表蛇，第一个是他的头。头部可以从其当前位置移动到相邻的自由节点，然后身体跟随它。有些节点标有点；当头部到达带有点的节点时，在头部的以下移动中，身体将增加卵石。遍历蛇后，将删除节点上的点。升p 1，。。。，p 升ü 1，。。。，ü 升p 1 Ë ËG = （V，E）G=(V,E)G = (V,E)升llp1个，。。。，p升p1,...,plp_1,...,p_lü1个，。。。，ü升u1,...,ulu_1,...,u_lp1个p1p_1eeeeee 问题：我们问蛇是否可以沿着图形移动并到达目标配置 ，其中目标配置是蛇位置（即小卵石的位置）的完整描述。TTT 很容易证明，即使不使用任何点，在最大度数为3的平面图上，SNAKE问题也是NP-hard问题；如果可以使用任意数量的点，则在SOLID网格图上也很容易证明。在没有点的实体网格图上，事情变得很复杂（这与另一个开放问题有关）。 我想知道是否已经用另一个名字研究了这个问题。 尤其是如果有证据证明它在NP中... 编辑：即使在平面图上，该问题也证明是PSPACE完全的，并且结果似乎非常有趣，因此仍有待确定这是否是一个新问题以及是否有已知结果。 一个简单的例子（鹅卵石显示为绿色，蛇的头是P1）。

13 cc.complexity-theory  reference-request  np-hardness  planar-graphs 

考虑以下问题- 定的最大平面图和G ^ 2，找到图ģ与这样，有一个子图（不一定诱导的）在两个边缘的最大数目ģ 1和G ^ 2是同构ģ。G1G1G_1G2G2G_2GGGG1G1G_1G2G2G_2GGG 可以在多项式时间内完成吗？如果是，那怎么办？ 众所周知，如果和G 2是一般图形，则问题是NP完全的（因为G 1可能是集团）。众所周知，如果G 1和G 2是树或有界度偏k树，那么问题可以在多项式时间内解决。那么最大平面情况呢？有人知道吗？两个最大平面图上的图同构是多项式。也许这有所帮助？G1G1G_1G2G2G_2G1G1G_1G1G1G_1G2G2G_2

13 ds.algorithms  graph-algorithms  planar-graphs 

在这里：http : //www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf（在“嵌入”一章中）给出了平面图组合嵌入的定义。（带有面的定义等）尽管可以轻松地用于任何图形，但他们将平面图形定义为具有Euler公式的图形（假设该图形已连接）。几乎可以理解，对于每个平面图，组合嵌入中的面定义类似于拓扑嵌入中的面定义。（假设该图已连接。否则，在组合嵌入中，每个连接的组件将具有无限的面） 问题是：如果对于某些连通图，其组合嵌入满足Euler公式，这是否意味着该图在拓扑意义上是平面的（它具有平面嵌入，即它是平面图）？

12 graph-theory  co.combinatorics  planar-graphs 

甲平面图形是可以被嵌入在平面上，而无需跨越边缘的曲线图。 令是一个k均匀超图，即一个超图，其所有超边的大小都为k。G=(X,E)G=(X,E)G=(X,E)kkk 已经在将超图嵌入平面中（通过集群或其他应用程序的上下文）上进行了一些工作，但是通常，数据根本无法嵌入到平面中。解决的办法可能是强制它，但有一些损失，或者将其嵌入更高的维度，如我在这里建议的那样： 平面度的自然扩展（至少是IMO）是G的“ 简单嵌入”（它有一个已知的不同名称吗？）：嵌入M：X → R k，使得存在连接的表面每个超边的所有顶点，除端点外，这些顶点不相交。kkkGGGM:X→RkM:X→Rk\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k （考虑一下2D中的模拟，其中每个表面都是可以绘制的边缘，但可以随意绘制）。 这是3均匀超图的有效3简单嵌入的示例。（每个顶点由包含在其中的超边缘着色，每个面代表一个超边缘）。 3个简单图的另一个示例是在5个顶点上的完整3一致超图。要查看此图像，只需在R 3中取4个不位于2D平面上的点，创建一个三角形金字塔（其凸包），然后将第五个点放置在金字塔的中心，将其连接到其他顶点。G=(V,V×V×V)G=(V,V×V×V)G=(V,V\times V\times V)R3R3\mathbb{R}^3 同样，似乎在6个顶点上的完整3一致超图没有3简单嵌入。 平面图具有一些非常有用的属性，这些属性允许在平面图为平面时改进解决难题的算法。不幸的是，数据有时不是平面的，尽管有时它是低维的。我认为了解平面图的哪些特性可以帮助我们找出可以使用同一工具将哪些算法应用于更高维度。 一个有用的属性示例来自法里定理，该定理表明每个平面图都可以以其所有边缘均为直线段的方式嵌入。 kkk 还有其他可以概括的属性吗？例如，可以将平面图的欧拉公式以某种方式推广到更高的维度吗？（尽管目前我不确定它的含义是什么）。

12 graph-theory  planar-graphs  hypergraphs  embeddings  generalizations 

让我们稍微放松一下着色，就是说，我们允许少量的相邻顶点被分配相同的颜色。单色分量定义为子图中由一组接收相同颜色的顶点所诱导的连接分量，问题是要求给图形着色所需的最小颜色数，以便最大的单色分量具有大小不超过ç。λλ\lambdaCCC 在这种情况下，传统的着色可以视为着色。因此，对于平面图来说，找到最小的λ是NP-难的。 [λ,1][λ,1][\lambda,1]λλ\lambda 我的问题是，如何 -coloring平面图的[λ,2][λ,2][\lambda,2]，或更一般地， -coloring为c ^ ≥ 2？[λ,C][λ,C][\lambda,C]C≥2C≥2C \geq 2 这可以看作是Edwards和Farr研究的双重问题，其中是固定的，要求人们找出C的最小大小。λλ\lambdaCCC

11 cc.complexity-theory  graph-theory  graph-colouring  planar-graphs 

Courcelle定理指出，可以在有界树宽图上的线性时间内确定在二元二阶逻辑中定义的每个图属性。这是最著名的算法元定理之一。 在库尔切勒定理的推动下，我提出了以下猜想： 猜想：令为任何MSO可定义的属性。如果ψ在平面图的多项式时间内是可解的，则ψ在所有类别的次要自由图上都可以在多项式中可解。ψψ\psiψψ\psiψψ\psi 我想知道上述猜想是否显然是错误的，即，是否有MSO可定义的属性在平面图上可以多项式时间求解，但在某些次要自由图上却是NP-hard？ 这是我先前提出问题的动机：在g属图上是否存在多项式可解但在g>属图上为NP-hard的问题。

11 graph-theory  lo.logic  treewidth  planar-graphs  graph-minor