Questions tagged «graph-algorithms»

图上的算法，不包括启发式算法。

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快速计算生成树的数量
t(G)t(G)t(G)GGGnnnt(G)t(G)t(G)O(n3)O(n3)O(n^3)QGJ11n2det(J+Q)1n2det(J+Q)\frac{1}{n^2} \det(J + Q)QQQGGGJJJ111 我想知道是否有某种方法可以更快地计算。（是的，用于计算行列式的算法比算法快，但我对某些新方法感兴趣。）O （n 3）t(G)t(G)t(G)O(n3)O(n3)O(n^3) 它也有兴趣考虑特殊的图形族（平面的，也许？）。 例如，对于循环图，可以在计算经由身份算术运算，其中是的拉普拉斯矩阵的非零特征值，可以快速地为循环图计算。（将第一行表示为多项式，然后在第个单位根上进行计算-此步骤使用离散傅立叶变换，可以用算术运算完成。）O （n lg n ）t （G ）= 1t(G)t(G)t(G)O(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n)λ我ģÑø（ÑLGÑ）t(G)=1nλ1⋯λn−1t(G)=1nλ1⋯λn−1t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}λiλi\lambda_iGGGnnnO(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n) 非常感谢你！
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对于3度有界图，反馈顶点集问题可以在多项式时间内解决吗？
一般图形的反馈顶点集是NP完全的。由于顶点覆盖范围的减少，对于度数为8的有界图，它是NP完全的。在维基百科的文章说，这是多时间内可解的程度，3界图，是NP-完成度4界图。但是，我无法在任何地方找到任何证明。是真的吗 FVS在d阶有界图中是NP完全的最小d是多少？
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最短路径公理
假设我们有一个无向加权图（具有非负权重）。让我们假设中的所有最短路径都是唯一的。假设我们有这些路径（未加权边的序列），但是不知道G本身。我们能否产生将这些路径视为多项式时间最短的G？较弱的版本：我们可以在多项式时间内确定是否存在这样的G吗？GG=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V, E, w)GGG(n2)(n2)\binom{n}{2}GGGGGGGGG 显而易见的必要条件如下：对于每对路径，它们的交点也是一条路径。这个条件够吗？
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最短路径的数据结构
令为具有个顶点和边的未加权无向图。是否可以预处理并生成大小为的数据结构，以便它可以在时间O（n）内回答“与之间的距离”形式的查询？GGGnnnmmmGGGm⋅polylog(n)m⋅polylog(n)m \cdot \mathrm{polylog}(n)uuuvvv 这个问题似乎太基本了，无法解决。
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计算Cheeger常数：对哪些类可行？
计算图的Cheeger常数（也称为等长常数）（因为它本质上是最小的面积/体积比），是NP完全的。通常，它是近似值。我有兴趣了解精确的多项式算法是否适用于特殊的图类。例如，规则图是否仍然是NP完全的？对于距离规则图？（我没有研究现有的NP完全性证明来检验它们的假设。）文献指针表示赞赏，谢谢！
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保持增长的无向图的平衡生成树
我正在寻找方法来维护图的相对平衡的生成树，因为我向图添加了新的节点/边。 我有一个无向图，该图以单个节点“根”开始。 在每个步骤中，我都会在图上添加一个新节点和将其连接到图的边，或者仅添加一个新的边来连接两个旧节点。随着图形的增长，我会维护一棵生成树。大多数情况下，这意味着当我添加新节点和边时，会将新节点设置为它所连接的旧节点的子节点。 我无法控制新节点的添加顺序，因此上述树构建算法显然会导致生成树不平衡。 有谁知道在线启发式技术可以使生成树“相对平衡”，同时最大程度地减少重新树的工作量？我对树结构有完全控制。我无法控制的是图形连接性，或者添加新节点的顺序。 请注意，标准的Google对诸如“平衡”，“生成”和“树”之类的术语的响应似乎是二叉树和B树，两者均不适用。我的图节点可以具有任意数量的邻居，因此树节点可以具有任意数量的子代，而不是像二叉树那样的2个子代。B树通过更改其邻接表来保持平衡，而我无法更改图的连接性。
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是什么将有界树宽图上的简单全局问题与硬全局问题区分开来的？
在有界树宽图上的多项式时间内可以解决许多硬图问题。确实，教科书通常以独立集为例，这是一个局部问题。大致而言，局部问题是可以通过检查每个顶点的一些小邻域来验证其解决方案的问题。 有趣的是，对于有界的树宽图，即使是全局性的问题（例如汉密尔顿路径）也可以有效地解决。对于此类问题，常规的动态编程算法必须跟踪解决方案可以遍历树分解的相应分隔符的所有方式（例如，参见[1]）。在[1]中给出了随机算法（基于所谓的cut'n'count），在[2]中开发了改进的（甚至是确定性的）算法。 我不知道可以这么说，但对于有界树宽图，至少可以有效地解决一些全局问题。那么在这些图表上仍然很难解决的问题呢？我假设它们也是全球性的，但是还有什么呢？是什么将这些棘手的全球性问题与可以有效解决的全球性问题区分开来？例如，为什么已知方法无法为我们提供有效的算法，为什么？ 例如，可以考虑以下问题： 边缘预着色扩展给定具有某些边缘着色的图GGG，请确定是否可以将此着色扩展为图的适当边缘着色。kkkGGG 边缘预着色扩展（及其列表边缘着色变体）对于二部串平行图[3]（此类图的树宽最多2）是NP完整的。 最小总和边缘着色给定一个图，找到一个边缘着色使得如果和具有共同的顶点，则。目的是最小化着色总和。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)χ:E→Nχ:E→N\chi : E \to \mathbb{N}e1e1e_1e2e2e_2χ(e1)≠χ(e2)χ(e1)≠χ(e2)\chi(e_1) \neq \chi(e_2)E′χ(E)=∑e∈Eχ(e)Eχ′(E)=∑e∈Eχ(e)E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e) 换句话说，我们必须将正整数分配给图的边，以使相邻边接收不同的整数，并且分配的数字之和最小。对于部分2树[4]（即树宽图最多2个），这个问题是NP难的。 其他此类难题包括边缘不相交路径问题，子图同构问题和带宽问题（例如，参见[5]及其参考文献）。对于即使在树木上仍然难以解决的问题，请参见此问题。 [1] Cygan，M.，Nederlof，J.，Pilipczuk，M.，van Rooij，JM和Wojtaszczyk，JO（2011年10月）。解决在单个指数时间内由树宽参数化的连接问题。在计算机科学基金会（FOCS），2011 IEEE第52届年度研讨会上（pp。150-159）。IEEE。 [2] Bodlaender，HL，Cygan，M.，Kratsch，S.，＆Nederlof，J.（2013）。确定性单指数时间算法，用于由树宽参数化的连接性问题。在《自动机，语言和程序设计》（第196-207页）中。施普林格·柏林·海德堡。 [3] Marx，D.（2005）。平面图边缘上的列表着色和预着色扩展的NP完整性。图论杂志，49（4），313-324。 [4] 马克思，D。（2009）。复杂性导致最小的求和边缘着色。离散应用数学，157（5），1034-1045。 [5] Nishizeki，T.，Vygen，J.，＆Zhou，X.（2001）。边不相交的路径问题对于串并联图是NP完全的。离散应用数学，115（1），177-186。
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快速树宽算法
我想计算图的树宽。对于其他NP硬图问题，例如用于子图同构的VF2，确实有很好的启发法，例如在igraph中可用的代码。我在图形上尝试了它们，发现它们对我的数据运行非常快。 有没有类似的方法可以快速计算树宽？
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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数？
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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从分隔符查询重构树
假设是一棵不知道其结构的恒定度树。问题是通过询问以下形式的查询来输出树：“节点是否位于从节点到节点的路径上？”。假设每个查询都可以由Oracle在固定时间内回答。我们知道的值，即树中节点的数量。目的是使输出树所需的时间最小化为。T x a b n nTTTTTTxxxaaabbbnnnnnn 是否存在针对上述问题的算法？o(n2)o(n2)o(n^2) 假设中任何节点的度数最大为3。TTT 我知道的 有直径的情况很容易。如果树的直径为，则可以得到分治算法：DDD 任何二叉树都有一个很好的分隔符，可以将树分成大小不小于1 / 3n的分量。 选择任何顶点x。如果它是一个很好的分隔符，则标签并递归。 找到x的所有3个邻居。 向节点数最多的邻居方向移动。与邻居重复步骤2。 由于找到分隔符最多需要步，因此我们得到了算法。O （n D log n ）DDDO(nDlogn)O(nDlog⁡n)O(nD\log n) 一个随机化算法O(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n\;\log^2 n)。（从下面的评论中删除） 随机选择两个顶点x和y。它们以1/9的概率位于分隔符的相对侧。选择从到的路径的中间节点。看看是否是分隔符，如果不是，则执行二进制搜索。ÿxxxyyy 查找分隔符需要预期时间。这样我们得到了随机算法。O （nO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\;\log n)O(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n\;\log^2 n) 背景。我从一个在概率图形模型中工作的朋友那里得知了这个问题。上面的问题大致对应于使用一个预言机学习结点树的结构，该预言机在给定三个随机变量X，Y和Z的情况下，可以根据给定的Z值来判断X和Y之间的互信息的值。为零，我们可以假设Z位于从X到Y的路径上。
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内部不相交的奇数长度st路径的最大数量
让GGG是一个无向简单图，让s,t∈V(G)s,t∈V(G)s,t \in V(G)是不同的顶点。令简单st路径的长度为路径上的边数。我感兴趣的是计算一组简单的st路径的最大大小，以使每个路径具有奇数长度，并且每对路径的顶点集仅在s和t中成对相交。换句话说，我正在寻找内部顶点不相交的奇数长度st路径的最大数量。我认为这应该是可以通过匹配或基于流的技术进行多项式时间计算的，但是我还无法提出一种算法。这是我对问题的了解。 我们可以用偶数长度代替对奇数长度的限制；这实际上并不会影响问题，因为如果细分入射在s上的所有边，则一个会转换为另一个。 如果对路径的奇偶性没有限制，则Menger定理给出答案，可以通过计算最大流量来获得答案。 确定多项式中仅在给定顶点v上成对相交的不相交奇数个长度最大循环的问题可以通过匹配技巧在多项式时间内计算：建立图G'作为(G−v)(G−v)(G - {v})和(G−NG[v])(G−NG[v])(G - N_G[v])，在同一顶点的两个副本之间添加边；大小图中的最大匹配|V(G)|−|NG[v]|+k|V(G)|−|NG[v]|+k|V(G)| - |N_G[v]| + k表示通过的最大奇数周期是 k ; 这种结构在哈德维格猜想的奇异次要变式的引理11的证明中得到了描述。vvvkkk 如果该图是有向的，则测试单个偶数长度st路径的存在已经是NP完整的。 论文Lapaugh和Papadimitriou的图形和有向图的偶数路径问题可能是相关的，但不幸的是，我们的图书馆没有订阅在线档案，也没有纸质副本。 任何见解将不胜感激！
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DAG具有O（n log n）空间和O（log n）时间查询的可达性？
对于有向无环图，是否存在一种无需进行二次空间或线性时间即可进行可达性查询的数据结构？理想情况下，我寻求一种仅使用每个顶点的O（log n）空间和对数时间的算法⟨ V，E⟩⟨V，Ë⟩{\langle}V,E{\rangle}，其中。n = | V| + | Ë|ñ=|V|+|Ë|n=|V|+|E| 在我看来，基于标准排序算法的某种概括，应该存在这样的数据结构，这在直觉上似乎很明显。但令我惊讶的是我找不到任何东西。我遇到的所有事情都是关于图形的假设（例如，平面度），或者解决了二次时间/空间中的难题（例如，查询与图形修改交错）。 在上可达维基百科页面只包括一个通用算法（弗洛伊德-沃肖尔）; 该页面的其余部分处理涉及假设的特殊情况，例如图形是平面的（不是）。 在这个空间中最常被引用的论文似乎是路径检索数据结构的摊销效率，但是为了允许这种情况以及它引用的所有论文都涉及O（n ^ 2）空间或O（n ^ 2）时间。更新与查询交错的图形（即不进行预处理）。 这个问题没有得到回答，但是它解决了更困难的问题，即允许边缘插入与查询交错。 这个问题要求一个持久的（纯功能的）数据结构，这里不需要。“简洁的Posets”论文需要空间，但它可以实现查询。我寻求一种时间更糟，空间更好的算法。Ø （ñ2）Ø（ñ2）O(n^2)O （1 ）Ø（1个）O(1) 通常在这里寻找立足点。如果有一份关于图可达性的调查论文没有将其99％的时间花费在平面图的案例上，那将会有所帮助。
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通过边缘和顶点去除实现图形的连通性
让我们说，如果从删除任何顶点和任何边总是留下一个连通图，则该图是连通的。例如，根据标准定义，根据新定义将连接图连接为。是否有多项式时间算法来确定是否与连接？在这里，我认为输入是，和。GGG(a,b)(a,b)(a,b)aaabbbGGGkkkG ^ （一，b ）ģ 一个b(k−1,0)(k−1,0)(k-1,0)GGG(a,b)(a,b)(a,b)GGGaaabbb
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交换网络问题的复杂性
甲开关网络（名字发明）是由具有三种类型的节点： 一个起始节点 一个端点 一个或多个Switch节点 交换节点具有3个出口：左，上，右；具有两个状态L和R和一个目标状态TL或TR。可以使用以下规则遍历每个开关： 总是从左到上；开关的状态变为L 总是从右到上；开关的状态变为R 仅当开关处于状态L时才从上到左；状态不会改变 如果开关处于状态R，则从上到右；状态不会改变 从不从左到右或从右到左 图1.处于目标状态TR的状态L的交换节点 这些属性还适用： 可以隔离交换机出口的0、1或2（不连接到另一个交换机）； 路径可以仅“触摸”开关以更改其状态：从“ Left”进入并从“ Left”退出，或者从“ Right”进入并从“ Right”退出； 对开关的遍历/触摸次数没有限制。 决策问题是：“是否存在从起始节点到结束节点的路径，以使交换机的所有最终状态都与相应的目标状态匹配？” 显然，所有最初不在其目标状态的开关都必须至少移动（或触摸）一次； 这是一个琐碎的网络的快速绘制（用Excel制作...我会做一个更好的网络）： 一个简单的解决方案是： S -> 1 -> 2 -> 3 -> 2 -> E -> 1 -> E 编辑2： 这个问题知道吗？--->您给了我关于Hearn命题（约束图）的良好参考； 问题出在 ; 在发布我的证明在NP中的草图之前，我发现了一个错误；因此，未解决的问题再次出现：ñP小号P一çË= P小号P一çËñP小号P一种CË=P小号P一种CËNPSPACE = PSPACE 2。它是？ñ PñP\mathsf{NP} 3。问题有没有机会成为？Ñ P …
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