Questions tagged «boolean-functions»

有关布尔函数及其分析的问题

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为什么对布尔函数进行傅立叶分析“有效”？
多年来，我已经习惯于使用离散傅立叶分析来证明许多TCS定理。Walsh-Fourier（Hadamard）变换几乎可用于TCS的每个子字段，包括属性测试，伪随机性，通信复杂性和量子计算。 虽然我很乐意在解决问题时使用布尔函数的傅里叶分析作为一种非常有用的工具，尽管我有很好的预感，但使用傅里叶分析的情况可能会产生一些不错的结果。我必须承认，我不太确定是什么使基础变更如此有用。 是否有人对傅里叶分析为什么在TCS研究中如此富有成果有直觉？为什么通过编写傅立叶展开并执行一些操作来解决这么多看似困难的问题？ 注意：到目前为止，我的主要直觉（可能是微不足道的）是，我们对多项式的行为有很好的理解，并且傅立叶变换是将函数视为多线性多项式的自然方法。但是为什么要特别指定这个基地呢？在平价基础上有什么独特之处？
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由具有AND OR和XOR门的有界深度电路描述的傅里叶系数布尔函数
令为布尔函数，并考虑f为从到的函数。用这种语言，f的傅立叶展开只是按照平方自由单项式展开f的展开。（这单项式构成上实函数空间的基础。系数平方的总和仅为因此导致了平方根自由单项式的概率分布。我们将此分布称为F分布。fff{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n{−1,1}{−1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n111fff 如果f可以由多项式大小的有界深度电路描述，那么我们可以根据Linial，Mansour和Nisan的一个定理知道，F分布集中于大小的单项式，直到权重几乎成倍地变小。这源自Hastad切换引理。（最直接的证明是最好的。）polylog npolylog n\text{polylog } n 当我们添加mod 2门时会发生什么？要考虑的一个示例是变量上的函数，它被描述为前n个变量和后n个变量的mod 2内积。在这里，F分布是均匀的。IP2nIP2nIP_{2n}2n2n2n 问题：布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR，或MOD电路描述（最大误差为超多项式小误差）集中在 “水平”上？22_2o(n)o(n)o(n) 备注： 一个反例的可能途径是在不相交的变量集上以某种方式“粘合”各种IP 2k2k_2k，但我不知道该怎么做。也许应该弱化这一问题，并允许为变量分配一些权重，但是我也没有一种明确的方法。（所以提到这两个问题也是我要问的一部分。） 我推测当您允许使用mod kk_k门时，对该问题（或成功的变体）的肯定回答也将适用。（所以问这个问题是由于Ryan Williams最近令人印象深刻的ACC结果。） 对于多数而言，每个“级别”的F分布都很大（1 / poly）。 如Luca所示，我提出的问题的答案为“否”。剩下的问题是提出寻找布尔函数F分布属性的方法，这些属性可以由AND OR和MAJORITY不共享的mod 2门描述。 尝试通过谈论MONOTONE函数来保存问题： 问题：MONOTONE布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR或MOD电路描述（最大为多项式小误差）集中在 “水平”上？22_2o(n)o(n)o(n) 我们可能推测我们甚至可以用代替，因此针对此强版本的反例可能很有趣。 o(n)o(n)o(n)polylog(n)polylog(n)\text{polylog} (n)
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将真实的傅立叶光谱与假的光谱区分开来的复杂性是什么？
甲PHPHPH机给出预言访问随机布尔函数f:{0,1}n→{−1,1}f:{0,1}n→{−1,1}f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}，以及两个傅立叶光谱ggg和hhh。 一个函数的傅立叶光谱fff被定义为F:{0,1}n→RF:{0,1}n→RF:\{0,1\}^n \to R： F(s)=∑x∈{0,1}n(−1)(s⋅xmod 2)f(x)F(s)=∑x∈{0,1}n(−1)(s⋅xmod 2)f(x)F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x) 一个的或是真正傅立叶光谱和另一种是仅有一个假的傅立叶光谱属于一个未知的随机布尔函数。ggghhhfff 不难证明机甚至不能近似于任何。PHPHPHF(s)F(s)F(s)sss 以高成功概率决定哪一个是真实的查询的查询复杂度是多少？ 有趣的是我，因为如果这个问题是不是在，那么可以表明，一个Oracle相对于它存在在没有一个子集。PHPHPHBQPBQPBQPPHPHPH
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关于两个矩阵的问题：敏感性猜想的证明中的Hadamard诉“神奇的一个”
最近，令人难以置信的光滑的灵敏度猜想的证明依赖于基质的显式*施工An∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}，递归地定义如下： A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix} 并且，对于n≥2n≥2n\geq 2， An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix} 具体地，可以很容易地看到，A2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_n所有n≥1n≥1n\geq 1。 现在，也许我对此读得太多，但这至少在语法上与另一个著名的矩阵族Hadamard矩阵有关，该矩阵也使得H2n∝InHn2∝InH_n^2 \propto I_n且具有“相似”谱： H1=(111−1)H1=(111−1)H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} ，并且对于n≥2n≥2n\geq 2， Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix} 两者之间是否有任何正式的联系（可能有用），只是“它们看起来模糊不清”？ 例如，AnAnA_n视为超立方体的签名邻接矩阵{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^n有一个很好的解释（边缘的符号(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x')\in\{0,1\}^n是的奇偶前缀xxx）。HnHnH_n有类似物吗？（这可能很明显吗？） ∗∗^*我还想知道非显式结构（例如均匀随机的±1±1\pm1矩阵）是否具有所需的光谱特性，但这可能要等待另一个问题。
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单调算术电路
我们对通用算术电路的了解程度似乎与对布尔电路的了解相近，即我们没有良好的下界。另一方面，对于单调布尔电路，我们有指数大小的下界。 我们对单调算术电路了解多少？我们是否有类似的下限？如果不是，那么根本的区别是什么使我们无法获得单调算术电路的类似下限？ 这个问题的灵感来自对此问题的评论。
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社会选择，箭头定理和开放性问题？
最近几个月，我开始就社交选择，箭头定理和相关结果进行自我介绍。 在阅读了开创性的结果之后，我问自己关于偏序偏好会发生什么，答案在Pini 等人的论文中。：汇总部分有序的偏好：不可能和可能性结果。然后，我想知道是否有可能找到可接受的社会选择功能的特征。然后又有人做了（满足 Mossel和Tamuz 的Arrow定理条件的函数的完全刻画）。我不会提供完整的清单，但是我能想到的是与社会选择有关的任何问题，在过去五年中所有这些问题都得到了解决：( 那么，您知道是否存在关于该领域最近完成的工作以及未完成哪些工作的调查？ 另一个问题是：您是否了解复杂性和与社交选择相关的问题（例如，查找与至少一个社交选择功能或此类问题兼容的最大用户子集的复杂性）。
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低阶随机函数为实多项式
是否有（合理）的方式进行采样均匀随机布尔函数f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}，其程度作为一个真正的多项式是至多ddd？ 编辑：尼森和Szegedy表明程度的函数ddd最多取决于d2dd2dd2^d坐标，所以我们可以假设n≤d2dn≤d2dn \leq d2^d。我看到的问题如下：1）一方面，如果我们在d2dd2dd2^d坐标上选择一个随机布尔函数，则其度将接近d2dd2dd2^d，远高于ddd。2）另一方面，如果我们最多随机选择每个度系数ddd，则该函数将不是布尔值。 所以问题是：有没有一种方法可以对避免这两个问题的低阶布尔函数进行采样？
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线性独立傅立叶系数
向量空间的基本属性是维数为的向量空间的特征在于线性独立的线性约束-也就是说，存在线性独立的矢量与正交。V⊆Fn2V⊆F2nV \subseteq \mathbb{F}_2^nn−dn−dn-dddddddw1,…,wd∈Fn2w1,…,wd∈F2nw_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^nVVV 从傅立叶角度来看，这等同于说，指示符函数的已线性独立的非零的傅立叶系数。注意具有个非零傅立叶系数，但是其中只有个是线性独立的。1V1V1_VVVVddd 1V1V1_V2d2d2^dddd 我正在寻找向量空间的此属性的近似版本。具体来说，我正在寻找以下形式的声明： 令的大小为。然后，指示符函数具有至多线性独立的傅立叶系数，其绝对值至少为\ varepsilon。S⊆Fn2S⊆F2nS \subseteq \mathbb{F}_2^n2n−d2n−d2^{n-d}1S1S1_Sd⋅log(1/ε)d⋅log⁡(1/ε)d\cdot\log(1/\varepsilon) εε\varepsilon 可以从“结构与随机性”的角度看待这个问题-直觉上，这样的主张说，每个大集合都可以分解为向量空间和小偏置集合的总和。众所周知，每个函数都可以分解为“线性部分”，其中线性部分具有大傅立叶系数和具有较小偏差的“伪随机部分”。我的问题是，线性部分是否仅具有对数个线性独立的傅立叶系数。f:Fn2→F2f:F2n→F2f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2poly(1/ε)poly(1/ε)\mathrm{poly}(1/\varepsilon)
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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数？
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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XORification的用途
XORification是使布尔函数或式更难由每个变量替换技术通过的XOR ķ ≥ 2层不同的变量X 1 ⊕ ... ⊕ X ķ。 Xxxķ ≥ 2k≥2k\geq 2X1个⊕ ... ⊕ Xķx1⊕…⊕xkx_1 \oplus \ldots \oplus x_k 我知道此技术在证明复杂性中的用途，主要是为基于分辨率的证明系统获得空间下界，例如，在论文中： 艾丽·本·萨森（Eli Ben-Sasson）。调整空间权衡以解决问题。STOC 2002，457-464。 Eli Ben-Sasson和JakobNordström。了解证明复杂性中的空间：通过替代的分离和权衡。ICS 2011，401-416。 这种技术在其他领域还有其他用途吗？
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灵敏度等于块灵敏度的布尔函数
关于敏感度与块敏感度的一些工作旨在检查s(f)s(f)s(f)与bs(f)bs(f)bs(f)之间的间隙尽可能大的功能，以便解决bs(f)bs(f)bs(f)仅是多项式更大的猜想。比s(f)s(f)s(f)。相反的方向呢？关于s(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)函数，人们知道什么？ 琐碎地讲，常数函数具有0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)。同样，s(f)=ns(f)=ns(f) = n任何函数也具有s(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)。证明任何单调函数也满足该等式是不平凡的，但并不是太困难。是否还有其他具有s （f ）= b s （f ）的漂亮函数类s(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)？完整的表征将是理想的。如果我们进一步加强对s0(f)=bs0(f)s0(f)=bs0(f)s^0(f) = bs^0(f)和s1(f)=bs1(f)s1(f)=bs1(f)s^1(f) = bs^1(f)怎么办？ 这个问题的动机仅仅是让人们对灵敏度与块灵敏度的关系有一些直觉。 定义 让f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}是对一个布尔函数nnn比特字。对于x∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^n和A⊆{0,1,…,n}A⊆{0,1,…,n}A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}，让xAxAx^A表示nnn从获得的比特字xxx通过翻转由指定的比特AAA。如果A={i}A={i}A = \{i\}，我们将简单地表示这是xixix^i。 我们将f在x处的灵敏度fffxxx定义为s(f,x)=#{i|f(xi)≠f(x)}s(f,x)=#{i|f(xi)≠f(x)}s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}。换句话说，xxx的位数可以翻转以翻转fff的输出。我们定义灵敏度的fff为s(f)=maxxs(f,x)s(f)=maxxs(f,x)s(f) = \text{max}_x s(f,x)。 我们定义的块灵敏度fff在xxx（表示为bs(f,x)bs(f,x)bs(f,x)）为最大kkk使得存在不相交的子集B1,B2,…,BkB1,B2,…,BkB_1, B_2, \ldots, B_k的{1,2,…,n}{1,2,…,n}\{1,2,\ldots, n\}这样该f(xBi)≠f(x)f(xBi)≠f(x)f(x^{B_i}) \neq f(x)。我们定义块灵敏度的fff asbs(f)=maxxbs(f,x)bs(f)=maxxbs(f,x)bs(f) …
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哪些单调布尔函数可表示为求和阈值？
我将通过一个例子来介绍我的问题。假设您正在设计考试，其中包括一组特定的nnn独立问题（考生可以对是错）。您想决定要给每个问题的分数，其规则是总分高于某个阈值的候选人将通过，其他候选人将不及格。 实际上，您对此非常了解，并且已经预见了所有可能的2n2n2^n结果，并为每个结果确定具有这种表现的候选人应该通过还是失败。所以，你有一个布尔函数f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f : \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}表示候选人是否应通过或失败取决于其确切的答案。当然，此功能应该是单调的：当正确解决一组问题使您通过时，正确解决任何超集也必须使您通过。 您能否确定要给出问题的分数（正实数）和阈值，以便您的功能能够被“如果正确问题的分数总和高于阈值，则候选人通过”规则准确地捕获。 ？（当然，在不失一般性的前提下，可以将阈值设为1，直至将分数乘以一个常数。）fff 正式：是否有的单调布尔函数表征对于其中存在瓦特1，... ，瓦特Ñ ∈ [R +使得对于所有v ∈ { 0 ，1 } ñ，我们有˚F （v ）= 1当且仅当Σ 我瓦特我v 我 ≥ 1f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f: \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}w1,…,wn∈R+w1,…,wn∈R+w_1, \ldots, w_n \in \mathbb{R}_+v∈{0,1}nv∈{0,1}nv \in \{0, 1\}^nf(v)=1f(v)=1f(v) = 1∑iwivi≥1∑iwivi≥1\sum_i w_i v_i \geq 1？ 不难发现并非所有功能都可以如此表示。例如，该函数不能：如（1 ，1 ，0 ，0 …
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上可学习的内部状态
我试图了解可通过阈值门表达的功能的复杂性，这导致我得出。特别是，由于我不是该领域的专家，所以我对当前在T C 0内学习所感兴趣的东西很感兴趣。TC0TC0\mathsf{TC}^0TC0TC0\mathsf{TC}^0 到目前为止，我发现的是： 所有的 可以通过Linial-Mansour-Nisan在均匀分布下在准多项式时间内获知。AC0AC0\mathsf{AC}^0 他们的论文还指出，一个伪随机函数发生器防止存在学习，而这一点，加上的稍后结果NAOR-莱因戈尔德该坦承PRFGs，表明Ť Ç 0表示可学习的在PAC的限制（至少-感）TC0TC0\mathsf{TC}^0TC0TC0\mathsf{TC}^0 Jackson / Klivans / Servedio在2002年发表的一篇论文可以学习的片段（最多具有多对数多数门）。TC0TC0\mathsf{TC}^0 我已经完成了平常的Google学术研究，但是希望cstheory的集体智慧可能有一个更快的答案： 我对了解学习的复杂性（就哪些类将有效的学习者夹在中间）的理解是我所描述的最新技术？并且是否有一个很好的调查/参考可以勾勒出当前的景观状态？
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