Questions tagged «arithmetic-circuits»

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固定一个整数时的整数乘法
令为大小为位的固定正整数。ñAAAnnn 允许对这个整数进行适当的预处理。 给定另一个大小为位的正整数，乘法的复杂度是多少？M A BBBBmmmABABAB 请注意，我们已经有算法。这里的查询是我们是否可以通过任何更聪明的方法使\ epsilon = 0？(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0
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为什么哈密尔顿循环与永久循环如此不同？
多项式是单调凸起的多项式克（Ý 1，... ，ÿ 米）如果米 =聚（Ñ ），并且有一个赋值 π ：{ Ý 1，... ，ÿ 米 } → { X 1，... ，X ñ，0 ，1f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)g(y1,…,ym)g(y1,…,ym)g(y_1,\ldots,y_m)mmm(n)(n)(n) ，使得 f （x 1，… ，x n）= g （π （y 1），… ，π （y m））。也就是说，有可能替换每个变量 ÿ Ĵ的克由可变 X 我或恒定 0或 1，使得所得多项式重合与 ˚F。 π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn，0 ，1 }π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}F（x1个，… ，xñ）= g（π（y1个），… ，π（y米））f(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))ÿĴyjy_jGggX一世xix_i0001个11Fff 我对永久多项式PER和汉密尔顿循环多项式HAM之间的差异感兴趣（原因）： ，其中所述第一求和是在 所有排列ħ …
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行列式和永久性的下界
鉴于最近在深度3处产生的鸿沟（除其他事项外，它针对的行列式产生了深度3算法电路），我有以下问题：格里戈里耶夫（Grigoriev）和卡尔平斯基（Karpinski）证明了在任何深度3算术电路中，在有限域上计算矩阵的行列式的下限为（我猜，也适用于永久）。用于计算永久性的Ryser公式给出了深度为3的算术电路，大小为Ñ×ÑÇ2Ω（Ñ）Ñ×ñø（Ñ22Ñ）=2Ö（Ñ）2ñ√日志ñ2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}n × nn×nn \times n CC\mathbb{C}2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}。这表明对于有限域上的永久性深度3电路，结果基本上是紧密的。我有两个问题： 1）行列式有一个深度为3的公式，类似于永久性的Ryser公式？ 2）计算行列式多项式\ textit {always}的算术电路大小的下界是否会产生永久多项式的下界？（在它们是相同的多项式）。F2F2\mathbb{F}_2 尽管我目前的问题是关于有限域上的这些多项式，但我也想知道这些问题在任意域上的状态。
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单调算术电路
我们对通用算术电路的了解程度似乎与对布尔电路的了解相近，即我们没有良好的下界。另一方面，对于单调布尔电路，我们有指数大小的下界。 我们对单调算术电路了解多少？我们是否有类似的下限？如果不是，那么根本的区别是什么使我们无法获得单调算术电路的类似下限？ 这个问题的灵感来自对此问题的评论。
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仅具有一个阈值门的算术电路
当受限于 -输入，每 -电路计算一些函数。要获得布尔函数，我们只需添加一个fanin-1阈值门作为输出门即可。在输入，结果阈值 - 电路在输出，在输出 ; 阈值可以是任何正整数，可能取决于1 { + ，× } ˚F （X 1，... ，X Ñ）˚F ：{ 0 ，1 } Ñ → Ñ一个∈ { 0 ，1 } Ñ { + ，× } 1 ˚F （一）≥ 吨0 ˚F （一）≤ 吨- 1 吨= 吨ñ ñ0001个11{ + ，× }{+,×}\{+,\times\}F（x1个，… ，xñ）F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)F：{ 0 ，1 }ñ→ …
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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数？
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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任何难于计数但易于确定的多项式？
每个单调算术电路，即电路，都会计算一些具有非负整数系数的多元多项式F （x 1，… ，x n）。给定多项式 ，电路{+,×}{+,×}\{+,\times\}F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n) 如果对于所有都成立，则计算； fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n 如果对于所有成立，则计算； fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 对于所有当成立 时，确定是否恰好满足。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 我知道显式多项式（甚至是多线性的）表明电路大小的间隙“计算/计数”可以是指数的。我的问题涉及“计数/决定”的差距。fff 问题1：是否有人知道多项式计算比由{ + ，× }-回路决定的指数难计算？ fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 作为一个可能的候选者，人们可以采取的路径多项式其变量对应于完整图的边上{ 1 ，... ，Ñ }，并且每个单项对应于简单的路径从节点1到节点ñ在ķ Ñ。该多项式可以决定通过尺寸的电路ø （Ñ 3）实施，也就是说，贝尔曼-福特动态规划算法，它是相对容易证明，每{ + ，× } -电路计算KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATH必须有大小。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} 在另一方面，每个电路计数 PATH解决 PATH问题，即，计数的数目1 -到- ñ路径在由对应的指定的0 - 1的输入子图ķ Ñ。这就是所谓的＃ P -完全问题。因此，我们所有人都“相信” PATH不能具有多项式大小的任何计数{ + ，× }-电路。“唯一”的问题是证明这一点... ##\#111nnn000111KnKnK_n##\#{+,×}{+,×}\{+,\times\} 我可以证明，计算相关汉密尔顿路径多项式HP的每个电路都需要指数大小。该多项式对应的单项式1 -到- …
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热带半环上的多项式的VC维？
就像这个问题一样，我对热带（max ，+ ）和（min ，+ ）电路的B P PBPP\mathbf{BPP}与PP\mathbf{P} / p o l ypoly\mathrm{poly} 问题感兴趣。这个问题简化为显示热带半环上多项式的VC维的上限（请参见下面的定理2）。 (max,+)(\max,+)(min,+)(\min,+) 令R为半环。甲零图案的序列的（˚F 1，... ，˚F 米）的米多项式- [R [ X 1，... ，X Ñ ]是子集小号⊆ { 1 ，... ，米}为其中存在X ∈ [R Ñ和ÿ ∈ [R使得对于所有我= 1 ，...RR(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)mmR[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}x∈Rnx\in R^ny∈Ry\in R，米， ˚F 我（X ）= ÿ当且仅当我∈ 小号。也就是说，究竟那些多项式的曲线图 ˚F 我与我∈ 小号必须击中点（X ，ÿ ）∈ [R …
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基本对称多项式的单调算术电路复杂度？
第kkk个基本对称多项式Snk(x1,…,xn)Skn(x1,…,xn)S_k^n(x_1,\ldots,x_n)是所有 k个不同变量的乘积。我对该多项式的单调算术（+，×）电路复杂度感兴趣。一个简单的动态编程算法（以及下面的图1）给出了一个具有O（kn）门的（+，×）电路。(nk)(nk)\binom{n}{k}kkk(+,×)(+,×)(+,\times)(+,×)(+,×)(+,\times)O(kn)O(kn)O(kn) 问题： 是否 知道的下限？ Ω(kn)Ω(kn)\Omega(kn) 甲电路是歪斜如果每个产品门的两个输入端的至少一个是可变的。这种电路实际上与开关和整流网络相同（有向无环图，其中的某些边缘用变量标记；每个st路径给出其标记的乘积，输出是所有st路径的总和）。早在40年前，马尔可夫就证明了一个令人吃惊的严格结果：S n k的最小单调算术偏斜电路恰好具有k （n - k + 1 ）个乘积门。的上界如下从图1： (+,×)(+,×)(+,\times)SnkSknS_k^n k(n−k+1)k(n−k+1)k(n-k+1) 但是我没有看到任何尝试证明非偏斜电路的下限。这仅仅是我们的“自大”，还是一路上观察到一些固有的困难？ PS我知道门对同时计算所有S n 1，… ，S n n是必要的。这是从对0-1输入进行排序的单调布尔电路的大小的下限开始的；请参阅Ingo Wegener的书的第158页。所述AKS排序网络也意味着ø （Ñ 登录Ñ ）门在此（布尔值）的情况下就足够了。实际上，鲍尔（Baur）和斯特拉森（Strassen）已经证明了紧约束Θ （n log nΩ(nlogn)Ω(nlog⁡n)\Omega(n\log n)Sn1,…,SnnS1n,…,SnnS_1^n,\ldots,S_n^nO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n)S n n / 2的非单调算术电路的大小。但是单调算术电路呢？Snn/2Sn/2nS_{n/2}^n
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函数的eta等效性是否可以与Haskell的seq操作兼容？
引理：假设等式我们有(\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B。 证明：⊥ = (\x -> ⊥ x)通过η等价，并(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)通过λ下的减少。 Haskell 2010报告第6.2节seq通过两个方程式指定了该函数： 序列:: a-> b-> b seq⊥b =⊥ seq ab = b，如果a≠⊥ 然后声明“因此，⊥与\ x-> not不同，因为seq可用于区分它们。” 我的问题是，这真的是定义的结果seq吗？ 隐含的说法似乎是seq将不可计算如果seq (\x -> ⊥) b = ⊥。但是我还不能证明这样的seq说法是没有争议的。在我看来，seq这既是单调的，又是连续的，这使它处于可计算的领域。 诸如seq之类的算法可能会通过枚举以starting开头的域来尝试搜索某些x位置f x ≠ ⊥而工作f。尽管这样的实现，即使有可能，一旦我们想要使seq多态成为现实，也会变得非常麻烦。 是否有证据证明不存在可计算seq的是标识(\x …
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机器表征
是一类决策问题，可通过具有无穷范宁OR和有穷范宁AND门的 O （log i n）深度电路族解决。取反仅在输入级别允许。已知的是，小号甲Ç 我为我≥ 1是根据补体和封闭小号甲Ç 0是没有的。此外，由于LogCFL， S A C 1 = L o g C F L并因此具有机器特征。S一种C一世SAC一世SAC^iO （对数一世n）O（日志一世ñ）O({\log}^i{n})小号A C一世小号一种C一世SAC^i我≥ 1一世≥1个i \geq 1小号A C0小号一种C0SAC^0SAC1=LogCFLSAC1=LogCFLSAC^1 = LogCFL是空间有界和多项式有时间限制的辅助PDA 接受的语言集。是否有类似的机器刻画小号一Ç 我为我≥ 2？O(logn)O(logn)O({\log}n)SACiSACiSAC^ii≥2i≥2i \geq 2
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有界树宽电路有哪些优点？
可以说布尔电路的树宽，将其定义为按以下方式获得的导线（顶点）上的“道德化”图的树宽：按以下方式连接导线一种aa和bbb只要bbb是具有一种aa作为输入的门的输出（或反之亦然）; 只要将导线一种aa和bbb用作同一门的输入，就应将它们连接起来。编辑：可以等效地将电路的树宽定义为代表它的图形的树宽；如果我们使用关联性重新组合所有AND和OR门最多具有两个扇入，则根据任一定义的树宽最多相同为333。 至少有一个通常不易解决的问题，但对于有树宽度的布尔电路来说却是易解决的：给定每条输入线设置为0或1（独立于其他输入线）的概率，计算出某个输出门是0或1。这通常是＃P-hard，通过减少例如＃2SAT来实现，但是可以在PTIME中使用结点树算法在树宽假定小于常数的电路上解决。 我的问题是要知道是否存在除概率计算之外的其他问题，这些问题通常很难解决，但对于有边界树宽的电路却是易处理的，或者其复杂度可以描述为电路大小及其树宽的函数。我的问题并非仅针对布尔型情况；我对其他半环上的算术电路也很感兴趣。你有没有看到这样的问题？
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关于无限半环的阿德曼定理？
阿德勒曼已示于1978年：如果布尔函数˚F的Ñ变量可由大小的概率布尔电路来计算中号，然后˚F也可以通过尺寸的确定性布尔电路计算M和n的多项式; 实际上，大小为O （n M ）。 BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}fffnnnMMMfffMMMnnnO(nM)O(nM)O(nM) 一般问题：在什么其他的（不是布尔）半环确实持有？ BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly} 要多的位特异性的，一个概率电路 在半环（小号，+ ，⋅ ，0 ，1 ）使用其“增加” （+ ）和“乘法‘’ （⋅ ）操作作为栅极。输入是输入变量X 1，... ，X ñ以及可能的附加随机变量，它采用的数值的一些数量的0和1 独立地以概率1 / 2 ;在这里CC\mathsf{C}(S,+,⋅,0,1)(S,+,⋅,0,1)(S,+,\cdot,0,1)(+)(+)(+)(⋅)(⋅)(\cdot)x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_n0001111/21/21/2 和 1分别是半环的加法和乘法身份。这样的电路 Ç计算给定功能的 ˚F ：小号Ñ → 小号如果对于每个 X ∈ 小号Ñ， P [R [ Ç（X ）= ˚F （X ）] ≥ 2 / 3。 000111CC\mathsf{C} …
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算术电路比布尔弱吗？
设表示计算给定的多项式多项式的（非单调）算术电路 的最小大小 并且表示计算布尔版本的（非单调）布尔电路的最小大小的由下式定义： （+ ，× ，- ）˚F （X 1，... ，X Ñ）= Σ Ë ∈ Ê Ç Ë Ñ Π我= 1 X Ë 我我A(f)A(f)A(f)(+,×,−)(+,×,−)(+,\times,-)乙（˚F ）（∨ ，∧ ，¬ ）˚F b ˚F ˚F b（X 1，... ，X Ñ）= ⋁ Ë ∈ Ê ⋀ 我：ë 我 ≠ 0 X 我F（x1个，… ，xñ）= ∑Ë ∈ ËCË∏我= 1ñXË一世一世，f(x1,…,xn)=∑e∈Ece∏i=1nxiei, …
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