Questions tagged «circuit-complexity»

电路复杂性是对资源有限的电路及其功能的研究。

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有界深度概率分布
关于有限深度计算的两个相关问题： 1）假设您以n位开始，并且以位i开始可以独立于0或1，并且概率为p（i）。（如果使问题更简单，我们可以假定所有p（i）均为0,1或1/2。甚至都是1/2。） 现在，您需要进行无数次的计算。在每个回合中，您对不相交的位集应用可逆的经典门。（修复您最喜欢的一组通用经典可逆门。） 最后，您将获得n位字符串上的概率分布。是否有限制这种分布的结果？ 我正在寻找类似于Hastad交换引理，Boppana的结果，即总影响较小或LMN定理。 2）与1）相同的问题，但具有有限深度量子电路。
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NC和P之间的问题：此列表中有多少已解决？
在Greenlaw，Hoover和Ruzzo （PS） （PDF）撰写的论文“针对P的完整问题纲要” （PDF）中，列出了P中不存在于NC中且也不具有P完全性的问题列表。（此列表包含了Karp和Ramachandran进行的出色调查中的所有未解决问题。）未解决问题列表从第89页开始。 此列表中有多少个问题已解决（即，显示为P完全或NC）？我猜在过去的19年中没有解决太多问题，因此（希望如此）不应该成为一个大问题。 那是我能找到的最新名单。指向最新列表的指针也将不胜感激！ 编辑：安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）指出，同一作者有一本教科书，其清单稍长。这是这本书的PDF。未解决的问题从第237页开始。
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关于/反对P的电路复杂度的Kolmogorov猜想的争论
根据（未经验证的）历史记录，Kolmogorov认为中的每种语言都具有线性电路复杂性。（请参见前面的问题Kolmogorov的猜想，即具有线性大小的电路。）请注意，这意味着。P P ≠ N PPP\mathsf{P}PPPP≠NPP≠NP\mathsf{P}\neq \mathsf{NP} 然而，人们认为柯尔莫哥洛夫的猜想可能会失败。例如，赖安·威廉姆斯（Ryan Williams）在最近的一篇论文中写道： “这个猜想如果是真的，将是令人惊讶的。对于语言，需要 时间，这种问题的复杂性似乎不太可能会神奇地缩小到大小，只是因为可以为每个输入长度设计不同的电路。”Ñ 100 100 ø （Ñ ）PP\mathsf{P}n100100n100100n^{100^{100}}O(n)O(n)O(n) 另一方面，安德烈·科莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov，1903-1987年）被公认为20世纪最主要的数学家之一。很难想象他会提出一个完全荒谬的猜想。因此，为了更好地理解它，我试图找到一些可能实际上支持他令人惊讶的猜测的论点。这是我能想到的： 假设。然后我们可以在\ mathsf {P}中选择一种语言L \，使得L在均匀模型和非均匀模型中都具有超线性复杂度。然后有两种可能性：P⊈SIZE(lin)P⊈SIZE(lin)\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)大号L∈PL∈PL\in \mathsf{P}LLL 有一个已知的 接受L的显式算法（Turing machine）。据此，我们可以构造一个必须具有超线性电路复杂性的显式函数族。但是，这可能被认为是不太可能的，因为在60多年来对电路的深入研究中，没有人能找到这样的例子。LLL L没有已知的显式算法。例如，它的存在是通过非建设性手段，例如“选择公理”来证明的。或者，即使存在显式算法，也没有人能够找到它。但是，假设存在无限多种语言可以扮演L的角色，那么它们也不大可能都以这种不友好的方式表现。LLLLLL 但是，如果我们认为这两种选择都不大可能，唯一剩下的可能性就是这样的LLL不存在。这意味着 P⊆SIZE(lin)P⊆SIZE(lin)\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)，恰恰是Kolmogorov的猜想。 问题：您能想到关于/反对科尔莫哥罗夫猜想的其他论点吗？
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我们可以
我们能否通过深度为lg n的多项式大小（无界扇入）电路计算ññn位阈值门lgñlglgñlg⁡ñlg⁡lg⁡ñ\frac{\lg n}{\lg \lg n}吗？或者，我们可以使用这些电路来计算输入位中的1的数目吗？ 是？Ť ç0⊆ 甲升吨Ť 我中号È（ø （LGñlglgñ），O （lgn ））ŤC0⊆一种升ŤŤ一世米Ë（Ø（lg⁡ñlg⁡lg⁡ñ），Ø（lg⁡ñ））\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n)) 请注意，。因此，问题本质上是在计算阈值门时是否可以在电路深度中节省因子。lg lg nŤ ç0⊆ Ñ Ç1个=ALogTime=AltTime(O(lgn),O(lgn))TC0⊆NC1=ALogTime=AltTime(O(lg⁡n),O(lg⁡n))\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))lglgnlg⁡lg⁡n\lg \lg n 编辑： 正如Kristoffer在他的回答中所写，我们可以保存因子。但是，我们可以节省更多吗？我们可以用替换吗？O （lg nlglgnlg⁡lg⁡n\lg \lg no（lgnO(lgnlglgn)O(lg⁡nlg⁡lg⁡n)O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})o(lgnlglgn)o(lg⁡nlg⁡lg⁡n)o(\frac{\lg n}{\lg \lg n}) 在我看来，分层的蛮力技巧甚至无法保存（更普遍的是任何函数）都无效。lg lg …
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有比线性下界更好的分解和离散对数吗？
是否有任何参考文献提供有关密码学中出现的特定硬问题的电路下限的详细信息，例如整数分解，素数/复合离散对数问题及其在椭圆曲线的点组上的变体（及其较高维的阿贝尔变体）和一般隐藏的子组问题？ 特别是，这些问题中是否有任何一个问题超出了线性复杂度的下限？
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奇偶校验和
奇偶校验和就像不可分割的双胞胎。在过去的30年中，似乎如此。根据Ryan的结果，对小班制的兴趣将重新出现。一ç0AC0AC^0 Furst Saxe Sipser到Yao到Hastad都是平价和随机的限制。Razborov / Smolensky是具有奇偶校验的近似多项式（好，模门）。Aspnes等人在平价上使用弱度。此外，Allender Hertrampf和Beigel Tarui将使用Toda进行小班教学。还有Razborov / Beame与决策树。所有这些都落入平价篮子。 1）还有哪些其他自然问题（除奇偶校验外）可以直接显示为不在？一ç0AC0AC^0 2）是否有人尝试过完全不同的方法来降低AC ^ 0的下限？
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电路上限表明
在针对P与NP的官方Clay问题描述中，将表明“每种语言[确定性图灵机可以在指数时间内识别的语言类别]都可以通过布尔电路族来计算。使得对于至少一个，的门数少于计算任何布尔函数所需的门数。” 但是，唯一的参考是“这是V. Kabanets的有趣观察”。有人可以指出这一含义的证据吗？P≠NPP≠NPP \neq NPEEE<Bn><Bn>nnnBnBnB_nf:{0,1}n⟶{0,1}f:{0,1}n⟶{0,1}f: \{0,1\}^n \longrightarrow \{0,1\}
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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数？
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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将电路转换为带有门扇出1的（任何深度）电路的最有效方法
编辑（2011年8月22日）： 我正在进一步简化问题，并悬赏该问题。也许这个更简单的问题将得到一个简单的答案。我还将删除所有不再相关的原始问题。（感谢Stasys Jukna和Ryan O'Donnell部分回答了原始问题！） 背景： 给定的AC 0电路随深度k和大小S，存在另一个AC 0电路计算与深度k和大小相同功能，使得新电路具有扇出= 1对于所有的栅极。换句话说，该电路看起来像一棵树（除了输入端，因为输入端可能扇出至多个门）。一种方法是复制所有扇出> 1的门，直到所有门扇出= 1。O(Sk)O(Sk)O(S^k) 但这是将AC 0电路转换为具有扇出1的AC 0电路的最有效方法吗？我在Ryan O'Donnell的课程笔记的第14课中阅读了以下内容： 假设C是计算奇偶校验的大小为S的任何深度k电路。此练习表明C可以转换为水平的k深度电路，其中的电平交替使用AND和OR门，输入线为2n文字，每个门具有扇出1（即，它是一棵树） ）—大小最多增加到。(2kS)2≤O(S4)(2kS)2≤O(S4)(2kS)^2 \leq O(S^4) 脚注：实际上，这是一个比较棘手的练习。如果只需要获得大小，容易，如果您将k视为“常数”，则对于我们的目的而言这几乎是相同的。O(Sk)O(Sk)O(S^k) 这是否意味着有办法采用大小为S的任何深度k AC 0电路并将其转换为扇出为1，深度k和大小为的AC 0电路？如果是这样，这是怎么做的，这是最著名的方法吗？ (2kS)2(2kS)2(2kS)^2 原始问题： 给定的AC 0电路随深度k和大小S，什么是最好的已知方法（在最小化所得到的电路的电路规模方面）这转换为交流的0电路深度k的和栅极扇出1？有没有下限？ 更新，更简单的问题： 这个问题是对原始问题的放松，在原始问题中，我不坚持要求所得电路的深度恒定。如上所述，有一种方法将深度为k，尺寸为S 的AC 0电路转换为尺寸为的电路，以使新电路的所有门扇出= 1。有更好的构造吗？O(Sk)O(Sk)O(S^k) 给定深度为k且尺寸为S 的AC 0电路，最有名的方法（就最小化所得电路的电路尺寸而言）将其转换为门扇出为1的任何深度的电路是什么？
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电路大小的层次定理
我认为电路复杂度的大小层次定理可能是该领域的重大突破。 这是一种有趣的班级分离方法吗？ 这个问题的动机是我们必须说 有一些函数无法通过尺寸电路来计算，而可以通过尺寸电路来计算，其中。（可能还有关于深度的问题）f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n)f(n)&lt;o(g(n))f(n)&lt;o(g(n))f(n)<o(g(n)) 因此，如果，则该属性似乎是不自然的（违反了较大性条件）。显然，我们不能使用对角化，因为我们的设置不统一。f(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n) \leq n^{O(1)} 在这个方向上有结果吗？
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在足够大维的仿射子空间上不恒定的布尔函数
我对具有以下属性的显式布尔函数感兴趣：如果在某些仿射子空间上是常数，则此子空间的维数为。F：0 ，1ñ→0 ，1f:0,1n→0,1f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}Fff ø （Ñ ）0 ，1ñ0,1n\\{0,1\\}^no （n ）o(n)o(n) 通过考虑子空间不难证明对称函数不满足此属性。任何都具有正好为的值，因此是维数为的子空间的常数。A =X ∈0 ，1ñ∣ x1个⊕ X2= 1 ，X3⊕ X4= 1 ，... ，xn − 1⊕ Xñ= 1A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}ñ / 2 1 ˚F 甲Ñ / 2X ∈ …
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演示不确定性电路电源的示例
除了普通输入，非确定性布尔电路还具有一组“非确定性”输入。如果存在，则不确定电路接受输入，以使电路输出在。类似于（由多项式大小的电路确定的语言类别），可以定义为由多项式大小的不确定性电路确定的语言类别。人们普遍认为，不确定性电路比确定性电路更强大，尤其是Ý = （Ý 1，... ，ÿ 米）c ^ X Ý 1 （X ，ÿ ）P / p ø 升ý Ñ P / p ø 升ý Ñ P ⊂ P / p Ò 升ÿx = （x1个,…,xn)x=(x1,…,xn)x = (x_1,\dots,x_n)y=(y1,…,ym)y=(y1,…,ym)y=(y_1,\dots,y_m)CCCxxxyyy111(x,y)(x,y)(x,y)P/polyP/polyP/polyNP/polyNP/polyNP/polyNP⊂P/polyNP⊂P/polyNP \subset P/poly 表示多项式层次结构崩溃了。 文献中是否有一个明确（无条件）的例子表明非确定性电路比确定性电路更强大？ 特别是，您是否知道一个函数族 通过大小为不确定性电路计算，但不能通过大小为确定性电路计算？{fn}n&gt;0{fn}n&gt;0\{f_n\}_{n > 0}cncncn(c+ϵ)n(c+ϵ)n(c+\epsilon)n
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不确定电路的大小的下界
已知计算奇偶校验函数的电路的最小大小正好等于。下限证明基于门消除方法。ü2ü2U_23 （n − 1 ）3（ñ-1个）3(n-1) 最近，我注意到门消除方法也适用于不确定电路，我们可以证明计算奇偶函数的不确定电路的下限为。ü2ü2U_23 （n − 1 ）3（ñ-1个）3(n-1)ü2ü2U_2 （这意味着非确定性计算对于用电路计算奇偶校验是无用的，并且不能将大小从减小。因此，最小电路不会因确定性情况而变化。）ü2ü2U_23 （n − 1 ）3（ñ-1个）3(n-1) 我的问题是以下两个： （1）这是新结果还是已知结果？ （2）更普遍地，对于具有不确定的不确定输入位（或无限不确定性）的不确定性电路（包括公式，恒定深度的电路等）的大小，是否存在下界的一些已知结果功能？ 补充说明（2014年11月27日） 在第二个问题中，我打算特别想知道这是否是不确定性电路（包括公式，恒定深度的电路等）的大小的第一个非平凡下界，对于显式函数具有无限不确定性。我知道，如果不确定性受到限制，则会产生一些结果，如下所示。 [1] Hartmut Klauck：具有不确定性有限的计算的下界。IEEE计算复杂性会议1998：141- [2] Vikraman Arvind，KV Subrahmanyam，内华达州Vinodchandran：定深度电路检查程序的查询复杂性。ISAAC 1999：123-132
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对于非布尔函数，下界比3n更好吗？
Blum的下界是显式函数的完整基础上最著名的电路下界，请参见。约克纳（Jukna）对这个问题的回答，以获得相关结果。˚F ：{ 0 ，1 } Ñ → { 0 ，1 }3n−o(n)3n−o(n)3n-o(n)F:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f : \{0,1\}^n \to \{0,1\} 如果的范围是什么是最著名的下限？特别是，对于或，我们可以获得更好的结果吗？{ 0 ，1 } 米米= Ñ 米= 2fff{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^mm = n米=ñm = nm=2m=2m = 2
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