Questions tagged «gr.group-theory»

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对称群表示法的应用
受这个问题的启发，尤其是Or回答的最后一段，我有以下问题： 您知道对称群表示理论在TCS中的任何应用吗？ 对称组是具有组运算组成的所有置换的组。的表示形式是从到可逆 ×复矩阵的一般线性组的同态。表示通过矩阵乘法作用于。的不可约表示是一个不留下不变的适当子空间的动作。有限群的不可约表示允许对非阿贝尔群进行傅立叶变换 { 1 ，… ，n } S n S n n × n C n S n C nSnSnS_n{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}SnSnS_nSnSnS_nn×nn×nn \times nCnCn\mathbb{C}^nSnSnS_nCnCn\mathbb{C}^n。该傅立叶变换在循环/阿贝尔群上具有离散傅立叶变换的一些优良特性。例如，卷积在傅立叶基础上变为逐点乘法。 对称组的表示理论可以很好地组合。每个不可约表示都对应于的整数分区。这种结构和/或对称组的傅立叶变换是否在TCS中找到了任何应用？ ñSnSnS_nnnn
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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数？
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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交集交集问题的复杂性
鉴于对称群和两个子组G ^ ，ħ ≤ 小号Ñ，和π ＆Element; 小号Ñ，确实ģ π ∩ ħ = ∅保持？SnSnS_nG,H≤SnG,H≤SnG, H\leq S_nπ∈Snπ∈Sn\pi\in S_nGπ∩H=∅Gπ∩H=∅G\pi\cap H=\emptyset 据我所知，该问题称为陪集交集问题。我想知道有什么复杂性？特别是，这个问题是否存在于coAM中？ 而且，如果将限制为阿贝尔阶，那么复杂度会变成什么呢？HHH
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识别顶点传递图的复杂性
我不擅长涉及小组的复杂性理论，因此，如果这是众所周知的结果，我深表歉意。 问题1.令为n阶的简单无向图。确定G是否为顶点传递的计算复杂度（以n表示）是多少？GGGnnnnnnGGG 回想一下，如果A u t（G ）对V （G ）进行传递，则图是顶点传递的。GGGAut(G)Aut(G)\mathrm{Aut}(G)V(G).V(G).V(G). 我不确定上面的定义是否允许多项式时间算法，因为它可能是的阶是指数级的。Aut(G)Aut(G)\mathrm{Aut}(G) 但是，顶点传递图具有一些其他结构属性，可以有效利用它们来确定它们，因此我不确定上述问题的状态是什么。 具有更多结构的顶点传递图的另一个有趣的子类是Cayley图的类。因此自然也提出以下相关问题 问题2.确定图是否为Cayley图的计算复杂度是多少？GGG
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是否存在高度对称的NP或P完全语言？
是否存在，其中有一些家庭对称群的NP-或P-完整的语言摹ñ（或广群上套，但随后的算法问题变得更加开放）作用（在多项式时间）大号ñ = { 升∈ 大号∣ | l | = n }使得轨道很少，即| L n / G n | &lt; n c对于足够大的n和一些c，使得G nLLLGnGnG_nLn={l∈L∣|l|=n}Ln={l∈L∣|l|=n}L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}|Ln/Gn|&lt;nc|Ln/Gn|&lt;nc|L_n / G_n| < n^cnnncccGnGnG_n可以给定有效地生成？nnn 这里的要点是，如果人们找到了这样的语言/组，并且如果可以在多项式时间组动作下找到范式，则可以通过将P T I M E简化为L来将L简化为计算任何给定N的范式，这意味着P = N P或L = PFPFP\mathrm{FP}LLLPTIMEPTIME\mathrm{PTIME}NNNP=NPP=NP\mathrm{P = NP}L=PL=P\mathrm{L = P}，具体取决于您最初分别选择的是NP完整语言还是P完整语言。因此，似乎没有这样的轨道稀疏的群体，或者对于所有这样的群体而言，很难计算正态形式，或者这些结果中的一个将保持不变，我认为我们大多数人都不相信。此外，它看来，如果一个人可以计算在轨道而不是正常形式的等价关系，一个仍然可以做到这一点不均匀，在。希望其他人对此有想法。P/polyP/poly\mathrm{P/poly}
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是否存在具有任意P度的单词问题的组？
很长一段时间以来，已知的是，在任何图灵程度下，都有一个有限表示的组，其词问题在该程度上。我的问题是，对于任意多项式时间图灵度，同样的事情是否成立。具体来说，给定一个可确定的集合，是否存在一个存在单词问题的有限表示组，使得和吗？我也愿意将有限表示放宽为递归表示。AAAWWWW≤PTAW≤TPAW\leq_T^P AA≤PTWA≤TPw ^A\leq_T^P W 我怀疑答案是肯定的，而且我听过其他人说他们在某个地方读过这篇文章，但是我一直无法找到参考。
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集体行动方面的高斯消除
高斯消除使矩阵多项式时间的行列式成为可计算的。复杂的在计算的决定因素，其否则总结指数项的减少，是由于替代负的符号（缺乏这些使得计算永久是存在#P-hard#P-hard \#P\mbox{-}hard即较硬然后。NP-CNP-CNP\mbox{-}C问题） 。这导致行列式具有某种对称性，例如，交换一对行或列只会使符号相反。我在某处（可能与Valiant提出的全息算法有关）读到，高斯消除可以用组动作来解释，这反过来又导致了降低复杂性的通用技术。 另外，我觉得对于任何计算问题而言，降低复杂性的几乎所有来源都是某种对称性。是真的吗 我们可以按照群体理论严格地将其形式化吗？ 编辑 我找到了参考。（第2页，第二段最后一行）。我没有正确理解本文，如果我的问题是基于对本文的错误理解，请纠正我。
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成员资格的复杂性-有限的阿贝尔群的测试
考虑以下阿贝尔亚组成员资格测试问题。 输入： 具有任意大的有限阿贝尔群并具有任意大的。G=Zd1×Zd1…×ZdmG=Zd1×Zd1…×ZdmG=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}didid_i 子组的生成集。{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbraceH⊂GH⊂GH\subset G 的元素。b∈Gb∈Gb\in G 输出：如果 'yes'，其他地方为'no'。b∈Hb∈Hb\in H 问题：可以在传统计算机中有效解决此问题吗？如果在传统图灵机的通常意义上使用时间和内存资源，我认为该算法有效。注意，对于任何子组，我们都可以假设。此问题的输入大小为。O(polylog|G|)O(polylog|G|)O(\text{polylog}|G|)n=O(log|G|)n=O(log⁡|G|)n= O(\log|G|)HHH⌈log|G|⌉⌈log⁡|G|⌉\lceil \log|G|\rceil 有点动力。从直觉上看，似乎可以使用算法来解决同余线性系统或线性双色子方程组（请参阅下文）。但是，似乎在使用整数进行计算时会使用不同的计算效率概念，例如：强多项式时间与弱多项式时间，代数与位复杂度。我不是这些定义的专家，我找不到明显解决此问题的参考。 更新：问题的答案是“是”。 在一个较晚的答案中，我提出了一种基于史密斯范式的方法，该方法对于具有规定格式的任何组都是有效的。 Blondin的答案表明，在所有都为且的形式的特殊情况下是“微小整数”，那么问题就属于。微小的整数随输入大小呈指数减小。ð 我 = Ñ Ë 我我 Ñ 我，ë 我NC 3 ⊂ P ø （日志的日志|甲|）didid_idi=Neiidi=Nieid_i= N_i^{e_i}Ni,eiNi,eiN_i, e_iNC3⊂PNC3⊂P\text{NC}^3\subset \text{P}O(loglog|A|)O(log⁡log⁡|A|)O(\log\log|A|) 在我的回答中，我使用“正交子组”来解决此问题，但是我认为这不是必需的。将来，我将基于我正在阅读的连续梯形表格方法，尝试提供更直接的答案。 一些可能的方法 该问题与求解全等线性系统和/或线性双色子方程密切相关。为了简单起见，我简要总结了这些连接。 以为矩阵，其生成集的元素 。以下方程组{ h 1，… ，h n }AAA{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace AxT=⎛⎝⎜⎜⎜⎜h1(1)h1(2)⋮h1(m)h2(1)h2(2)⋮h2(m)……⋯…hn(1)hn(2)⋮hn(m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜x(1)x(2)⋮x(n)⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜b(1)b(2)⋮b(m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟modd1modd2⋮moddmAxT=(h1(1)h2(1)…hn(1)h1(2)h2(2)…hn(2)⋮⋮⋯⋮h1(m)h2(m)…hn(m))(x(1)x(2)⋮x(n))=(b(1)b(2)⋮b(m))modd1modd2⋮moddm Ax^{T}= …
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确定可以通过非交换组元素的置换来实现
固定有限群。我对以下决策问题感兴趣：输入是某些元素，它们具有部分顺序，而问题是，是否存在满足该顺序的元素的排列，并且该排列是否满足order产生组的中性元素。摹èGGGGGGËËe 形式上，检验问题如下，其中组是固定的：GGGGGG 输入：有限的部分有序集，具有从到的标记函数。μ P ģ（P，&lt; ）（P，&lt;）(P, <)μμ\muPPPGGG 输出：是否存在的线性扩展（即，总阶使得对于所有，表示），从而写出的元素遵循总顺序为，我们有。（P ，&lt; '）X ，ÿ ∈ P X &lt; ý X &lt; ' ý P &lt; ' X 1，... ，X Ñ μ （X 1）＆CenterDot;＆⋯ ＆CenterDot;＆μ （X Ñ）= ÈPPP（P，&lt;′）（P，&lt;′）(P, <')X ，ÿ∈ PX，ÿ∈Px, y \in Px &lt; yX&lt;ÿx < yx &lt;′ÿX&lt;′ÿx <' yPPP&lt;′&lt;′<'X1个，… ，xñX1个，…，Xñx_1, \ldots, x_nμ …
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难以理解阿贝尔隐藏子组问题的量子算法
我很难理解AHSP算法的最后步骤。令GGG为阿贝尔群，FFf为隐藏子群的函数HHH。让G∗G∗G^*代表双组GGG。 这是算法的步骤 首先准备状态 一世= 1| G |∑G∈ g ^| G⟩ | 0 ⟩一世=1个|G|∑G∈G|G⟩|0⟩\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle。 然后应用量子预言，其评价FFf上一世一世I，我们得到 一世′= ∑G∈ g ^| G⟩ | F（克）⟩一世′=∑G∈G|G⟩|F（G）⟩\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle。 现在衡量的第二个量子比特一世′一世′I'，我们得到 一世′= （1| H|ΣG∈ ^ h| [R^ h⟩）＆CircleTimes; | F（- [R ħ ）⟩一世′=（1个|H|ΣG∈H|[RH⟩）⊗|F（[RH）⟩\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) …
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组同构问题最难的例子是什么？
如果存在从到的同构是双射的，则两个组和被称为同构。组同构问题如下：给定两个组，检查它们是否同构。有多种输入组的方式，其中最常用的两种是Cayley表和发电机组。在这里，我假设输入组由其Cayley表给出。更正式地：(G,⋅)(G,⋅)(G,\cdot)(H,×)(H,×)(H, \times)GGGHHH Group Isomorphism ProblemGroup Isomorphism Problem\textbf{Group Isomorphism Problem} Input : Input : \textbf{Input : }（G ，⋅ ）（H ，× ）两组和。(G,⋅)(G,⋅)(G,\cdot)(H,×)(H,×)(H,\times) Decide : Decide : \textbf{Decide : } ģ ≅ ħ是吗？G≅HG≅HG \cong H 让我们假设n=|G|=|H|n=|G|=|H|n = |G| = |H| 通常，在中不存在由Cayley表指定输入组时的组同构问题。尽管存在类似问题的组类（例如阿贝尔群组），但这些组是阿贝尔群的扩展，简单组等。即使对于幂等类两个组，没有什么算法比蛮力更好了众所周知。PP\textbf{P} Tarjan给出了用于组同构的蛮力算法，如下所示。令和为两个输入组，令为组的生成集。众所周知的事实是，每个有限组都允许生成大小的集合，并且可以在多项式时间内找到它。从到的同态的发电机组的图像数量是。现在，检查每个可能的同态是否都是双射的。整体运行时间为。GGGHHHSSSGGGO(logn)O(log⁡n)\mathcal{O}(\log n)SSSGGGHHHnlognnlog⁡nn^{\log n}nlogn+O(1)nlog⁡n+O(1)n^{\log n + \mathcal{O}(1)} 让我首先定义组的中心：GGG Z(G)={g∈G∣ag=ga,∀a∈G}Z(G)={g∈G∣ag=ga,∀a∈G}Z(G) = \{g \in G …
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这个“亚群包装”多表位是整体的吗？
令为一个有限的阿贝尔群，并令为的多面体，定义为满足以下不等式的点：P - [R Γ XΓΓ\GammaPPP[RΓRΓ\mathbb{R}^\GammaXxx ∑G∈ g ^XG≤ | G |XG≥ 0∀ ģ ≤ Γ∀ 克＆Element; Γ∑g∈Gxg≤|G|∀G≤Γxg≥0∀g∈Γ\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array} 其中表示是的子组。是整数吗？如果是这样，我们可以表征其顶点吗？ģ Γ P摹≤ ΓG≤ΓG \le \GammaGGGΓΓ\GammaPPP 我的问题最初是由，其中一些小例子（）提示答案是“是”和“也许，但这并不简单”。我还尝试了9个和10个元素上的循环基团，以及，其中多面体也是不可或缺的。当是，和任何一个时，多面体不是整数，因此，阿拉伯语显然是必不可少的。 Ñ = 2 ，3 ˚F 2 …
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子群的Cayley图的直径（无逆）
鲍鲍伊和Seress 证明该给定的子组和发电机组小号的ģ，以任何排列ģ可以写为发电机的产品和它们的长度的逆ë （1 + Ö （1 ））√ģ ≤ 小号ñG≤小号ñG \leq S_n小号小号SGGGGGG。由于Sn具有e（1+o（1）） √阶的元素，因此该界限是最佳的。Ë（1 + o （1 ））n 对数ñ√Ë（1个+Ø（1个））ñ日志⁡ñe^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}小号ñ小号ñS_n。Ë（1 + o （1 ））n 对数ñ√Ë（1个+Ø（1个））ñ日志⁡ñe^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}} 中每个元素最多具有序e （1 + o （1 ））√的经典事实小号ñ小号ñS_n，结合八佰和Seress，显示的结果是给定的一个子组G ^≤小号Ñ和发电机组小号的ģ，以任何排列ģ最多可被写为长度的发电机的产物ë2（1+o（1）） √Ë（1 + o （1 ））n 对数ñ√Ë（1个+Ø（1个））ñ日志⁡ñe^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}ģ ≤ 小号ñG≤小号ñG \leq S_n小号小号SGGGGGG。Ë2 （1 + o （1 ））n个对数ñ√Ë2（1个+Ø（1个））ñ日志⁡ñe^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}} 我们可以提高上限到e（1+o（1）） √Ë2 …
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